eindeutige Lösung bestimmen < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:46 So 19.07.2009 | | Autor: | mathe_FS |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Gleichung x = tan x in x [mm] \in (\pi;\bruch{3}{2}\pi) [/mm] eine eindeutige Lösung x* (also Nullstelle) besitzt. |
Ich hätte das jetzt 0 gesetzte und dann geschaut, für welche Werte von x die Gleichung 0 wird (für 0, [mm] k*\pi) [/mm] und dann wäre ja die eindeutige Lösung [mm] x=\pi.
[/mm]
Kann man das so machen oder ist das unmathematisch?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:36 So 19.07.2009 | | Autor: | abakus |
> Zeigen Sie, dass die Gleichung x = tan x in x [mm]\in (\pi;\bruch{3}{2}\pi)[/mm]
> eine eindeutige Lösung x* (also Nullstelle) besitzt.
> Ich hätte das jetzt 0 gesetzte und dann geschaut, für
Hallo,
was willst du hier Null setzen? Es geht um den/ die Schnittpunkt(e) der Graphen von y=x und y=tan x.
Da gibt es normalerweise unendlich viele, allerdings ist die Tangensfunktion auf ein Teilintervall beschränkt, in dem sie
1) monoton und stetig ist
2) der Anstieg der Tangensfunktion nur an einer Randstelle gleich 1 und an allen weiteren Stellen größer als 1 ist. Damit kann es keine zwei Schnittpunke geben.
Gruß Abakus
> welche Werte von x die Gleichung 0 wird (für 0, [mm]k*\pi)[/mm] und
> dann wäre ja die eindeutige Lösung [mm]x=\pi.[/mm]
> Kann man das so machen oder ist das unmathematisch?
> Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 So 19.07.2009 | | Autor: | mathe_FS |
Ah OK. Habe wohl die Aufgabe falsch verstanden.
Vielleicht kannst du mir noch hierbei helfen:
ln x = sin x
Ich soll die Gleichung lösen und mein Verfahren auf Konvergenz untersuchen.
Kann ich das umwandeln in [mm] x=e^{sin x} [/mm] ??? Und dann das Newton-Verfahren nutzen, um herauszufinden, für welches x die Gleichung erfüllt ist???
Konvergenz fürs Newton-Verfahren weiß ich.
Oder habe ich das wieder falsch gemacht???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 So 19.07.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
die Umwandlung ist okay. Darauf dann den newton loslassen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:56 So 19.07.2009 | | Autor: | mathe_FS |
DANKE!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 So 19.07.2009 | | Autor: | mathe_FS |
Hallo nochmal,
sitze nun schon eine Weile und bekomme es mit Newton-Verfahren nicht gelöst. [mm] x=e^{sin x} [/mm] ist im Newton Verfahren divergent.
Kann mir jemand helfen, wie ich auf die Lösung komme???
Habe auch schon Fixpunktiteration probiert - ERFOLGLOS!
Bitte helft mir.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 So 19.07.2009 | | Autor: | Infinit |
Wie die Winkelhalbierende aussieht, wissen wir ja und die e-Funktion mit einem Sinusargument ergibt eine etwas breitgedrückte Sinusfunktion. Es gibt auf jeden Fall einen Punkt, an dem sich beide Kurven schneiden und zwar genau einen.
$$ [mm] x_n [/mm] = [mm] x_{n-1} [/mm] - [mm] \bruch{f(x_{n-1})}{f^{'}(x_{n-1})} [/mm] $$
mit
$$ f(x) = [mm] e^{\sin x} [/mm] - x $$
Startpunkt von 2 ist recht gut.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 So 19.07.2009 | | Autor: | mathe_FS |
Hallo,
warum ist [mm] f(x)=e^{sin x}-x [/mm] ???
Wenn wir Gleichungen der Form [mm] x=e^{sin x} [/mm] gelöst haben, war das [mm] f(x)=e^{sin x} [/mm] .
Nimmt man das x immer mit rüber???
Zumindest komme ich jetzt auf das Ergebnis.
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:04 So 19.07.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
> warum ist [mm]f(x)=e^{sin x}-x[/mm] ???
Hallo,
das Newton-Verfahren kann primär erst mal nichts weiter, als von Funktionen den Näherungswert für eine Nullstelle zu berechnen.
Wir wollen aber die Gleichung [mm] e^{sin x}=x [/mm] lösen. Wenn wir das umstellen zu [mm] e^{sin x}-x=0 [/mm] entspricht das der Aufgabe, von [mm] f(x)=e^{sin x}-x [/mm] eine Nullstelle zu ermitteln.
Gruß Abakus
> Wenn wir Gleichungen der Form [mm]x=e^{sin x}[/mm] gelöst haben,
> war das [mm]f(x)=e^{sin x}[/mm] .
> Nimmt man das x immer mit rüber???
> Zumindest komme ich jetzt auf das Ergebnis.
> Vielen Dank!
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