eindim. Untermannigfaltigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:31 Di 16.10.2012 | | Autor: | Pia90 |
| Aufgabe | Geg.: Menge [mm] M={\vektor{x \\ y \\ z} \in \IR^3; 2x+zy=z+y=0}
[/mm]
Verifizieren Sie: Die Menge M ist eine eindim. Untermannigfaltigkeit
Finden Sie weiterhin eine (globale) Karte von M und bestimmen Sie alle Tangentialvektoren an M in den Punkten a= [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ -2} [/mm] und b= [mm] \vektor{ {\bruch{9}{2}} \\ -3 \\ 3} [/mm] .
Bestimmen Sie [mm] N_{x}M \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M. |
Hallo zusammen,
da ich leider aufgrund von Überschneidungen die Analysisvorlesung nur zur Hälfte besuchen kann, sitze ich wiedereinmal vor meinen Aufgaben und bin nicht so ganz in der Lage diese lösen...
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte sie gemeinsam Schritt für Schritt zu lösen!
Zunächst einmal zum Beweis der eindimensionalen Untermannigfaltigkeit.
Unsere Definition besagt (ich habe es schon versucht auf die Aufgabe zu beziehen, normal ist die Def. natürlich allgemeiner), dass die Teilmenge M [mm] \subset \IR^3 [/mm] 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit des [mm] \IR^3 [/mm] heißt, wenn es zu jedem Punkt a [mm] \in [/mm] M eine offene Umgebung U [mm] \subset \IR^3 [/mm] von a und stetig diffbare Fkt.en [mm] f_1, f_2 [/mm] : U [mm] \to \IR [/mm] gibt, so dass
1. M [mm] \cap [/mm] U = { x [mm] \in [/mm] U; [mm] f_1(x)=f_2(x)=0} [/mm] und
2. Rand Df(a)=2 für f= [mm] \vektor{f_1 \\ f_2} [/mm] : U [mm] \to \IR^2
[/mm]
Mit dem ersten Teil der Definition kann ich noch nicht wirklich viel anfangen, weil ich nicht so ganz weiß, was ich da tun kann ... Oder ist das bereits durch die Aufgabenstellung gegeben?
Zum zweiten Teil habe ich mir folgendes überlegt:
Setze f: [mm] \IR^3 \to \IR^2 [/mm] durch [mm] f(\vektor{x \\ y \\ z}) [/mm] = [mm] \vektor{2x+zy \\ z+y} [/mm] (stetig diffbar als Polynome)
Dann ist [mm] Df(\vektor{x \\ y \\ z})= \pmat{ 2 & z & y \\ 0 & 1 & 1 }.
[/mm]
Sind meine Überlegungen soweit richtig?
Ich müsste jetzt zeigen, dass der Rang Df = 2 ist... Ist das nicht im Grunde trivial? Weil egal was ich für z und y einsetze, die Matrix hat immer den Rang 2 oder? Kann man das auch irgendwie vernünftig zeigen?
Was muss ich dann weiterhin noch für die Untermannigfaltigkeit zeigen?
Vielen Dank schonmal im Voraus!
Liebe Grüße und noch einen schönen Abend!
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(Frage) überfällig | | Datum: | 22:10 Mi 17.10.2012 | | Autor: | Pia90 |
Niemand eine Idee oder Tipp?
Mir kam inzwischen noch der Gedanke, dass man vielleicht irgendwie über den Satz über implizite Funktionen weiterkommt, aber es scheitert irgendwie noch an der Umsetzung...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Fr 19.10.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:18 Mi 17.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zum zweiten Teil habe ich mir folgendes überlegt:
> ...
> Dann ist [mm]Df(\vektor{x \\ y \\ z})= \pmat{ 2 & z & y \\ 0 & 1 & 1 }.[/mm]
>
> Sind meine Überlegungen soweit richtig?
> Ich müsste jetzt zeigen, dass der Rang Df = 2 ist... Ist
> das nicht im Grunde trivial?
wenn ich Dir einfach glaube, dass Du [mm] $Df((x,y,z)^T)$ [/mm] richtig berechnet hast:
Ja.
Der Rang ist gleich dem Zeilenrang, und dass die beiden Zeilenvektoren
linear unabhängig sind, das "sieht" man - aber schreib's Dir echt hin,
wenn's unklar ist.
Du kannst natürlich analog sagen: Offenbar sind die beiden ersten Spalten
linear unabhängige Vektoren des [mm] $\IR^2\,.$ [/mm] Weil eine Basis des [mm] $\IR^2$
[/mm]
maximal aus zwei linear unabhg. Vektoren besteht, folgt für den
Spaltenrang also ...?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 Do 25.10.2012 | | Autor: | Pia90 |
danke!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Do 18.10.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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