eine Abschätzung < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:06 Do 18.10.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Zeigen Sie die Abschätzung
[mm] $\lVert x\rVert_p\leq\lVert x\rVert_q$
[/mm]
für ein [mm] $x\in\ell_q, [/mm] q<p$, woraus sich die Inklusion [mm] $\ell_q\subset\ell_p, 1\leq q\leq p<\infty$ [/mm] ergibt.
Ein Hinweis ist auch gegeben:
Verwende (ohne Beweis) die Abschätzung [mm] $(a^r+b^r)\leq (a+b)^r$ [/mm] für [mm] $a,b\geq [/mm] 0, r>1$. |
Leider habe ich so gar keine Ahnung, wie ich vorgehen muss.
Kann mir bitte jemand helfen?
Vielen Dank!
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Hiho,
formen wir den Spaß doch erstmal um:
[mm]\lVert x\rVert_p\leq\lVert x\rVert_q[/mm]
[mm]\gdw \lVert x\rVert_p^p \leq\lVert x\rVert_q^p[/mm]
Nun schreib das mal aus, fang rechts an, wende den Hinweis auf [mm] $r=\bruch{p}{q}$ [/mm] an und dann stehts fast da......
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Do 18.10.2012 | | Autor: | mikexx |
Also ich habe dann erstmal nur
[mm] $\lVert x\rVert_q^p=\left(\sum\limits_{i=1}^{\infty}\lvert x_i\rvert^q\right)^{p/q=r}=\left(\lvert x_1\rvert^q+\lvert x_2\rvert^q+\hdots\right)^{r}$
[/mm]
Wie kann man den Hinweis nun anwenden?
Was sind hier a und b?
(Kann man vielleicht [mm] $a=\lvert x_1\rvert^p$ [/mm] und [mm] $b=\lvert x_2\rvert^q+\lvert x_3\rvert^q+\hdots$ [/mm] aufteilen?
Oder einfach auf JEDEN Summanden?
Also oben weiter mit
[mm] $\geq (\lvert x_1\rvert^q)^{r}+(\lvert x_2\rvert^q)^r+\hdots=\sum\limits_{i=1}^{\infty}\lvert x_i\rvert^p=\lVert x\rVert_p^p$
[/mm]
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Hiho,
> Oder einfach auf JEDEN Summanden?
so siehts aus.
> Also oben weiter mit
>
> [mm]\geq (\lvert x_1\rvert^q)^{r}+(\lvert x_2\rvert^q)^r+\hdots=\sum\limits_{i=1}^{\infty}\lvert x_i\rvert^p=\lVert x\rVert_p^p[/mm]
Na dann stehts doch da 
Dass es auch mit beliebig vielen Summanden funktioniert, kann man recht schnell induktiv zeigen, denn es gilt doch:
[mm] $(a+b+c)^r [/mm] = [mm] \left(a + (b+c)\right)^r \ge a^r [/mm] + [mm] (b+c)^r \ge a^r [/mm] + [mm] b^r [/mm] + [mm] c^r$
[/mm]
na und so weiter halt
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Do 18.10.2012 | | Autor: | mikexx |
Ach, das ist schon alles?...
Dann war das ja echt nicht schwer.
Danke!
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Hiho,
> Ach, das ist schon alles?...
Jop.
> Dann war das ja echt nicht schwer.
Na meistens gehts mit der richtigen Idee recht schnell 
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:56 Do 18.10.2012 | | Autor: | mikexx |
Danke, dass Du die Idee mir gegeben hast.
Ich war schon ein bisschen am (ver-)zweifeln.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:00 Fr 19.10.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Darf ich hier direkt eine weitere Aufgabe anschließen (denn ich meine, sie hat mit der vorherigen aus diesem Thread zu tun)?
Zeige:
[mm] $\lim\limits_{p\to\infty}\lVert x\rVert_p=\lVert x\rVert_{\infty} ~\forall~x\in\ell_1$ [/mm] |
Ich weiß nicht genau, ob das Sinn macht, aber ich würde erstmal die Ausgangsaussage aus diesem Thread anwenden:
[mm] $x\in\ell_1, [/mm] 1<p$, dann gilt
[mm] $\lVert x\rVert_p\leq\lVert x\rVert_1=\sum\limits_{i=1}^{\infty}\lvert x_i\rvert\geq\sup\limits_{i\in\mathbb{N}}\lvert x_i\rvert=\lVert x\rVert_{\infty}$
[/mm]
Jetzt hängt ja nur noch die ganz linke Ungleichungsseite von $p$ ab und wenn ich $p$ jetzt gegen Unendlich streben lasse, dann steht da doch
[mm] $\lVert x\lVert_{\infty}=\lim\limits_{p\to\infty}\lVert x\rVert_p\leq\lVert x\rVert_1=\sum\limits_{i=1}^{\infty}\lvert x_i\rvert\geq\sup\limits_{i\in\mathbb{N}}\lvert x_i\rvert=\lVert x\rVert_{\infty}$, [/mm] also müssen hier doch überall "="'s stehen, oder?
Ist die Behauptung damit gezeigt?
Ich würde sagen: Ja, denn man hat damit ja die gewünschte Aussage gezeigt, nämlich, dass
[mm] $\lim\limits_{p\to\infty}\lVert x\rVert_p=\sup\limits_{i\in\mathbb{N}}\lvert x_i\rvert$
[/mm]
vG, mikexx
Edit: Das macht m.E. alles noch nicht so richtig Sinn.
Ich habe im Internet etwas darüber gelesen, dass man es vielleicht mit dem "Sandwich-Kriterium" zeigen soll?
Aber dazu fällt mir nur ein:
[mm] $\lVert x\lVert_{\infty}^p\leq\lVert x\rVert_{p}^p\leq \lVert x\rVert_1^p$
[/mm]
Wenn nun auch noch gelten würde, dass [mm] $\lVert x\lVert_1^p\leq\lVert x\rVert_{\infty}^p$, [/mm] könnte man ja dann die p-ten Wurzeln ziehen und man hätte die Aussage, oder?
Aber gilt denn [mm] $\lVert x\rVert_1^p\leq \lVert x\rVert_{\infty}^{p}$? [/mm] M.E. nicht. . .
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 So 21.10.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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