eine Abschätzung sauber zeigen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:19 Do 13.11.2008 | | Autor: | Aileron |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgende komplexe Folge
[mm] i^{n}+\bruch{1}{2^{n}}
[/mm]
auf Konvergenz |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Das diese Folge divergieren muss ist anschaulich klar, da [mm] i^{n} [/mm] periodisch ist.
Nun will ich aber noch zeigen, das [mm] \bruch{1}{2^{n}} [/mm] kleiner ist als [mm] \bruch{1}{n} [/mm] von der wir (laut Vorlesung) wissen, das diese Folge konvergiert.
Wie mach ich diese Abschätzung formal sauber?
Unser tutor zieht uns immer für kleine Formfehler massig Punkte ab, zeigt aber nicht wie man es besser machen kann.
Und wie zeige ich, dass es keine [mm] \varepsilon [/mm] Umgebung gibt für ein [mm] N\in\IN [/mm] so dass gilt [mm] |a-a_{n}|<\varepsilon [/mm] für n>N
Das es so ein [mm] \varepsilon [/mm] nicht geben kann ist mir ja klar, da [mm] i^{n} [/mm] Periodisch ist, aber ich weiß nicht wie ich das formal richtig hinschreiben soll
mfg
Siggi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:45 Do 13.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Untersuchen Sie die folgende komplexe Folge
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> [mm]i^{n}+\bruch{1}{2^{n}}[/mm]
>
> auf Konvergenz
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Das diese Folge divergieren muss ist anschaulich klar, da
> [mm]i^{n}[/mm] periodisch ist.
>
> Nun will ich aber noch zeigen, das [mm]\bruch{1}{2^{n}}[/mm] kleiner
> ist als [mm]\bruch{1}{n}[/mm] von der wir (laut Vorlesung) wissen,
> das diese Folge konvergiert.
>
> Wie mach ich diese Abschätzung formal sauber?
> Unser tutor zieht uns immer für kleine Formfehler massig
> Punkte ab, zeigt aber nicht wie man es besser machen kann.
Hier würde ich einen Kurzen Indunktionsbeweis machen, dass [mm] 2^{n}>n [/mm]
(Daraus folgt ja [mm] \bruch{1}{2^{n}}<\bruch{1}{n})
[/mm]
Also
[mm] 2^{n+1}
[/mm]
[mm] =2^{n}*2^{1}
[/mm]
>n*2
>n
(Den Ind-Anfang und die Ind-Vorassetzung musst du natürlich noch sauber formulieren.)
>
> Und wie zeige ich, dass es keine [mm]\varepsilon[/mm] Umgebung gibt
> für ein [mm]N\in\IN[/mm] so dass gilt [mm]|a-a_{n}|<\varepsilon[/mm] für n>N
>
> Das es so ein [mm]\varepsilon[/mm] nicht geben kann ist mir ja klar,
> da [mm]i^{n}[/mm] Periodisch ist, aber ich weiß nicht wie ich das
> formal richtig hinschreiben soll
Zeiche mal, dass [mm] i^{n} [/mm] vier Häufungspunkte besitzt, also nicht konvergieren kann, dann nimmst du [mm] \varepsilon [/mm] < "kleinster Abstand der Häufungspunkte"
(Evtl. habt ich schon gezeigt, dass eine Folge mit mehreren Häufungspunkten nicht konvergieren kann, dann kannst du dich darauf beziehen.)
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> mfg
> Siggi
Marius
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