einelementige Mengen messbar < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:18 Fr 23.01.2009 | | Autor: | Scholli |
| Aufgabe | Aufgabe: Beweise, dass eine einelementige Menge messbar ist.
Definition: Es sei [mm] \varphi[/mm] ein äußeres Maß auf [mm]X[/mm]. [mm]A \subset X [/mm] heißt messbar, wenn für jedes [mm]D \subset X[/mm] gilt: [mm]\varphi (D) \ge \varphi(A \cap D) + \varphi(C_xA \cap D)[/mm]. Dabei bezeichnet [mm]C_xA[/mm] das Komplement von A in X.
Definition: Eine Abb. [mm] \varphi: \mathcal{P}(X) \rightarrow [0,\infty ][/mm] heißt äußeres Maß, wenn
(i) [mm]\varphi(\emptyset ) = 0[/mm]
(ii) [mm] A \subset B \Rightarrow \varphi (A) \le \varphi (B)[/mm]
(iii) [mm] \varphi ( \cup_{j \in \IN} A_j) \le \sum_{j \in \IN} \varphi (A_j) [/mm] für alle Folgen [mm](A_j)_{j \in \IN}[/mm] in [mm]\mathcal{P} (X)[/mm]. |
Beim Lernen bin ich drauf gestoßen, dass ich nur mit den Definitionen den Beweis nicht hinkriege.
Sei also [mm]A = \{x\}[/mm] wobei [mm]x \in X[/mm] und [mm]D \subset X [/mm] beliebig.
Für [mm] a \not \in D[/mm] ist mir die Sache klar. Ist allerdings [mm] a \in D[/mm], steh ich auf dem Schlauch. Dann ist [mm]\varphi (A \cap D) = \varphi (A)[/mm] und [mm]\varphi (C_xA \cap D) = \varphi (D \setminus A)[/mm], aber weiter komm ich nicht. Beim Überlegen hab ich gedacht es hilft vielleicht zu zeigen, dass [mm]A[/mm] eine Nullmenge ist (also [mm]\varphi (A) = 0[/mm]), aber das hab ich auch nicht geschafft...
Achso, es kann [mm]\varphi(D) < \infty[/mm] angenommen werden, denn sonst ist nicht viel zu zeigen.
Hat jemand eine Idee?
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Also Messbarkeit ist wie folgt erklärt,
wenn ich mich nach 20 Jahren richtig erinnere:
A messbar, wenn fuer jedes D gilt:
m^*(A [mm] \cap [/mm] D) + [mm] m^*(\overline{A} \cap [/mm] D ) = m^*(A) (*)
Ist nun A = [mm] {x_0}, [/mm] so
gilt A [mm] \cap [/mm] D entweder [mm] {x_0} [/mm] oder leer.
Das umgekehrte gilt für das Komplement.
Damit ist die Gleichung (*) immer wahr.
Zu weiterem Verständniss: m^* ist ein
aüsseres Mass, das lebt auf der Potenzmenge
und ist daher erst mal subaaditiv. Gleichung (*)
filtert die Mengen heraus, wo dann m^*
additiv wird, und so kriegt man ein richtiges
sigma-additives Mass, aber nicht für alle
Mengen, sondern einem Teilmengensystem der
Potenzmenge, das dann eine Sigma Algebra wird.
Diese Konstruktion geht glaube ich auf Caratheodory
zurück.
Schöne Grüße der
Schlunzbuns
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:47 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Scholli |
> A messbar, wenn fuer jedes D gilt:
> m^*(A [mm]\cap[/mm] D) + [mm]m^*(\overline{A} \cap[/mm] D ) = m^*(A) (*)
Nein, auf der rechten Seite der Gleichung müsste m^*(D) stehen, siehe z.B.
![[]](/images/popup.gif) Wikipedia: outer measure (Achtung, das A im Wiki-Artikel ist das D hier im Artikel)
Trotzdem vielen Dank für den Hinweis!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:58 Fr 23.01.2009 | | Autor: | Blech |
> Aufgabe: Beweise, dass eine einelementige Menge messbar
> ist.
Das ist nicht immer der Fall.
Sicher, daß nicht irgendein Maß oder eine Klasse von Maßen vorgegeben ist?
Beispiel:
[mm] $X=\{0,1\}$,
[/mm]
[mm] $\rho(A)=\begin{cases} 0,&\text{falls}\ A=\emptyset\\
1, &\text{sonst}\end{cases}$
[/mm]
[mm] $\rho$ [/mm] ist ein äußeres Maß.
[mm] $\{1\}$ [/mm] ist aber nicht meßbar:
[mm] $\rho(\{0,1\})\ngeq \rho(\{1\})+\rho(\{0\})$
[/mm]
ciao
Stefan
EDIT: Typo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:36 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Scholli |
Bei uns im Unterricht wurde die Behauptung so gar nicht getroffen, aber ich dachte trotzdem dass sie stimmt. Wir sind schnell zum Lebesgue'schen äußeren Maß übergegangen und haben nur noch damit gearbeitet.
Das Gegenbeispiel funktioniert so nicht ganz, weil es [mm]2[/mm] in [mm]X[/mm] gar nicht gibt. Kann man ja aber reinnehmen, so dass es mit [mm]X := \{0, 1, 2\} [/mm] und [mm]D := X[/mm] geht.
Zeigt ja gut, dass Messbarkeit von Mengen total vom verwendeten Maß abhängt.
Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:45 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Blech |
Hallo,
> Bei uns im Unterricht wurde die Behauptung so gar nicht
> getroffen, aber ich dachte trotzdem dass sie stimmt. Wir
> sind schnell zum Lebesgue'schen äußeren Maß übergegangen
> und haben nur noch damit gearbeitet.
Das ist immer gefährlich. Wenn man irgendwas zuerst allgemein definiert, und sich dann nur noch ein eng begrenztes subset anschaut.
Aus Zeitgründen aber oft unvermeidlich. =)
> Das Gegenbeispiel funktioniert so nicht ganz, weil es [mm]2[/mm] in
> [mm]X[/mm] gar nicht gibt. Kann man ja aber reinnehmen, so dass es
Sollte auch [mm] $\{0\}$ [/mm] sein.
> mit [mm]X := \{0, 1, 2\}[/mm] und [mm]D := X[/mm] geht.
Das geht auch.
> Zeigt ja gut, dass Messbarkeit von Mengen total vom
> verwendeten Maß abhängt.
Das tut sie.
ciao
Stefan
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