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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 Sa 28.05.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Wie kann ich zeigen, dass
[mm] \IR^n\backslash [/mm] 0 einfach zusammenhängend ist
für [mm] n\geq [/mm] 3? |
Ich habe leider keine Idee!
Ich weiß nur, dass [mm] \IR^n\backslash [/mm] 0 einfach zusammenhängend wäre, wenn jede geschlossene stetige Kurve nullhomotop ist.
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> Wie kann ich zeigen, dass
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> [mm]\IR^n\backslash[/mm] 0 einfach zusammenhängend ist
>
> für [mm]n\geq[/mm] 3?
> Ich habe leider keine Idee!
>
> Ich weiß nur, dass [mm]\IR^n\backslash[/mm] 0 einfach
> zusammenhängend wäre, wenn jede geschlossene stetige
> Kurve nullhomotop ist.
Hallo mikexx,
ich hoffe, dass dir auch anschaulich klar ist,
worum es bei dieser Frage geht.
Warum wird [mm] n\geq3 [/mm] vorausgesetzt ?
Wie sähe es im Fall n=2 aus ?
Und was genau heisst "nullhomotop" ?
Ich denke, dass man den Beweis so führen kann,
dass man zeigt, auf welche Weise man eine gegebene
geschlossene stetige Kurve k stetig innerhalb der
Menge [mm] \IR^n\backslash\{0\} [/mm] zusammenziehen kann, bis
sie zu einem Punkt geschrumpft ist. Ich würde mir
zu diesem Zweck einen Kegel mit k als Leitkurve
und mit Geraden durch einen Punkt S (Kegelspitze)
als erzeugende Mantellinien denken.
Den Zusammenziehungsprozess kann man mittels
einer Parametrisierung beschreiben, falls für k
eine Parametrisierung vorliegt.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Sa 28.05.2011 | | Autor: | mikexx |
Ja, mir ist klar, worum es anschaulich geht.
Und Deine grundsätzliche Idee würde ich bestätigen, denn eine weitere Definition von "einfach zusammenhängend" ist, dass es ein [mm] p\in \IR^n\backslash [/mm] 0 gibt, sodass alle stetigen geschlossenen Kurven mit Anfangs- und Endpunkt p in [mm] \IR^n\backslash [/mm] 0 nullhomotop sind.
Mir ist allerdings nicht klar, wie man jetzt zeigt, dass man solche Kurven auf einen Punkt zusammenziehen kann.
Du hast etwas von Parametrisierung geschrieben und Kegel - das ist mir leider alles nicht klar geworden.
Magst Du darüber genauer schreiben? Es wäre sehr toll!
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> Ja, mir ist klar, worum es anschaulich geht.
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> Und Deine grundsätzliche Idee würde ich bestätigen, denn
> eine weitere Definition von "einfach zusammenhängend" ist,
> dass es ein [mm]p\in \IR^n\backslash[/mm] 0 gibt, sodass alle
> stetigen geschlossenen Kurven mit Anfangs- und Endpunkt p
> in [mm]\IR^n\backslash[/mm] 0 nullhomotop sind.
>
>
> Mir ist allerdings nicht klar, wie man jetzt zeigt, dass
> man solche Kurven auf einen Punkt zusammenziehen kann.
> Du hast etwas von Parametrisierung geschrieben und Kegel -
> das ist mir leider alles nicht klar geworden.
>
> Magst Du darüber genauer schreiben? Es wäre sehr toll!
Sei $\ [mm] t\mapsto K\,(t)$ [/mm] mit $\ [mm] t\in[0...1]$ [/mm] und $\ f(0)=f(1)$ eine Parametri-
sierung von k und S ein geeigneter Punkt in [mm] \IR^n\backslash\{0\} [/mm] .
Nun setzen wir $\ [mm] P(t,u)=S+u*(K\,(t)-S)$ [/mm] für [mm] u\in[0...1] [/mm]
und $\ [mm] c(u)=\{P(t,u)\ |\ t\in [0...1]\ \}$ [/mm] sowie $\ [mm] m(t)=\{P(t,u)\ |\ u\in [0...1]\ \}$
[/mm]
Lassen wir nun den Parameter u von 1 nach 0 laufen,
So bewegt sich jeder Punkt P(t,u) von seiner ursprüng-
lichen Lage $\ [mm] P(t,1)=K(t)\in [/mm] k$ auf stetiger Bahn der
Mantellinie m(t) entlang zur Endstation in S.
Die gesamte Kurve k=c(1) "schrumpft" dabei, wobei
sie ständig ihrer ursprünglichen Form ähnlich bleibt,
durch alle ihre Stadien c(u) bis zu [mm] c(0)=\{\,S\,\} [/mm] .
Dabei muss man jetzt aber noch darauf achten, dass
keine der Kurven c(u) den zu meidenden Punkt [mm] O\in\IR^n
[/mm]
trifft. Deshalb oben die Formulierung "ein geeigneter
Punkt". Man sollte also noch ein sicheres Rezept für
die Wahl des Punktes S angeben, das diese Komplika-
tion ausschließt.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 So 29.05.2011 | | Autor: | mikexx |
Danke, das fand ich jetzt recht anschaulich.
Ich habe bloß noch nicht verstanden, warum Du c(u) und m(t) definierst.
Und wie ich ausschließen kann, dass man nie 0 als den Punkt wählt, auf den sich alles zusammenzieht, weiß ich auch nicht so recht.
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> Danke, das fand ich jetzt recht anschaulich.
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> Ich habe bloß noch nicht verstanden, warum Du c(u) und
> m(t) definierst.
Nur, um das Bild noch anschaulicher zu machen:
einerseits die Kurven, die den "Film" zeigen, wie
die Kurve k zu einem Punkt zusammenschnurrt und
andererseits die Mantellinien, längs welcher sich
dabei die einzelnen Punkte von k auf die Kegel-
spitze S hinzu bewegen.
> Und wie ich ausschließen kann, dass man nie 0 als den
> Punkt S wählt, auf den sich alles zusammenzieht, weiß ich
> auch nicht so recht.
Nun, man wird natürlich auf keinen Fall für S
gerade den Nullpunkt O wählen, der ja gar nicht
zur Grundmenge gehört. Im Übrigen besteht aber
bei der Wahl von S große Wahlfreiheit. Man muss
nur darauf achten, dass die zusammenschrumpfende
Kurve zu keinem Zeitpunkt durch O geht, denn der
ganze Zusammenziehungsprozess muss sich ja
vollständig innerhalb [mm] \IR^n\smallsetminus\{0\} [/mm] vollziehen.
LG
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:54 So 29.05.2011 | | Autor: | mikexx |
Eine abschließende Frage noch:
War diese Konstruktion jetzt "nur" für n=3 oder ist damit schon die ganze Aufgabe gezeigt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:24 Di 31.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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