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Ich habe Probleme mit einer einfachen DGL:
m * [mm] \bruch{d v}{d t} [/mm] + k*v = m*g
Gesucht: v(t)
Lösungsmethode soll sein: Trennung der Variablen
Die vorhandene Lösung soll sein:
[mm] v(t)=C*e^{-\bruch{k}{m}*t}+\bruch{m*g}{k}
[/mm]
Meine Probleme:
1.) Mit nur Trennung der Variablen ist es ja nicht getan, man braucht doch auch noch Variation der Konstanten, oder?
2.) Meine Zwischenergebnisse:
Lösung der Homogenen DGL:
[mm] v(t)=C*e^{-\bruch{k}{m}*t}
[/mm]
Dann weiter mit Variation der Konstanten C -> C(t) bis zu:
[mm] \bruch{d C(t)}{d t}=g*e^{\bruch{k}{m}*t} [/mm] - [mm] C(t)*(\bruch{k}{m}-\bruch{m}{k})
[/mm]
So, hier fällt leider das C(t) nicht weg und es entsteht wieder eine inhomogene DGL.
Hier muss irgendwo der Fehler liegen. Nur was hab ich falsch gemacht?
Danke schonmal.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo stefan-tiger,
> Meine Probleme:
> 1.) Mit nur Trennung der Variablen ist es ja nicht getan,
> man braucht doch auch noch Variation der Konstanten, oder?
> 2.) Meine Zwischenergebnisse:
>
> Lösung der Homogenen DGL:
>
> [mm]v(t)=C*e^{-\bruch{k}{m}*t}[/mm]
>
> Dann weiter mit Variation der Konstanten C -> C(t) bis zu:
>
> [mm]\bruch{d C(t)}{d t}=g*e^{\bruch{k}{m}*t}[/mm] -
> [mm]C(t)*(\bruch{k}{m}-\bruch{m}{k})[/mm]
>
> So, hier fällt leider das C(t) nicht weg und es entsteht
> wieder eine inhomogene DGL.
>
> Hier muss irgendwo der Fehler liegen. Nur was hab ich
> falsch gemacht?
den ganzen Ansatz mußt Du ableiten und in die DGL einsetzen.
[mm]\begin{array}{l}
v\left( t \right)\; = \;C(t)\;e^{ - \frac{k}{m}t} \\
v'(t)\; = \;C'(t)\;e^{ - \frac{k}{m}t} \; - \;\frac{k}{m}\;C(t)\;e^{ - \frac{k}{m}t} \\
\Rightarrow \;m\;\left( {C'(t)\;e^{ - \frac{k}{m}t} \; - \;\frac{k}{m}\;C(t)\;e^{ - \frac{k}{m}t} } \right)\; + \;k\;C(t)\;e^{ - \frac{k}{m}t} \; = \;m\;g \\
\Leftrightarrow \;m\;\;C'(t)\;e^{ - \frac{k}{m}t} \; = \;m\;g \\
\end{array}[/mm]
Gruß
MathePower
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Bin selbst auf die "Lösung" gekommen.
Hab auf die schnelle im Kopf Ableitung und Integration der e-Funktion durcheinender gebracht. Wenn mans richtig macht fällt C(t) weg und alles ist gut 
Gruß
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