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| Aufgabe | | gesucht ist die Fourierreihendarstellung für $f(x) = x, x [mm] \in [-\pi, \pi)$ [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe vorhin begonnen, mich mit Fourrierreihen zu beschäftigen und dies ist also praktisch die zweite Fourierreihe, die ich selbst berechnen möchte. Vorgehen:
Da f(x) offensichtlich ungerade ist, gilt [mm] $a_n [/mm] = 0$ und [mm] $b_n [/mm] = [mm] \bruch{2}{\pi} [/mm] * [mm] \integral_{0}^{\pi}{f(x) sin (nx) dx}$
[/mm]
Damit komme ich auch bei mehrmaligem Rechnen auf [mm] $\bruch{2n cos (nx)*x+\pi sin (\pi n)}{\pi n^2}$. [/mm] Bei Wolfram Alpha fehlt das x im ersten Summanden im Zähler des Bruchs. Warum, verstehe ich hier nicht. Soll ich meinen Rechneweg für die partielle Integration posten oder wird der Fehler irgendwie anders deutlich? Oder ist möglicherweise die Lösung von Wolfram Alpha nicht korrekt?
Die Fourrierreihe ergibt sich mit [mm] $a_0 [/mm] = 0$ zu:
[mm] $\summe_{i=1}^{\infty}$ $\bruch{2n cos (nx)*x+\pi sin (\pi n)}{\pi n^2} [/mm] * sin (nx)$.
Ist das korrekt? Im Internet habe ich eine Beispielrechnung gefunden, die ich bereits bei der Integration nicht verstehe, und zwar direkt den ersten Schritt. Ich habe sie als Bild angehängt. Wo kommt die eckige Klammer im ersten Schritt her bzw. was hat diese Schreibweise zu bedeuten? So, wie ich das kenne (Stammfunktion mit den Grenzen) handelt es sich um eine Differenz mit den Grenzen für die Veränderliche eingesetzt (hier aber keine vorhanden, sodass der Wert der Klammer doch 0 ergeben müsste?!). Ich bin sehr verwirrt über diese Integration und würde mich über etwas Erleuchtung freuen :)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Vielen Dank im Voraus!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo zettelbox,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> gesucht ist die Fourierreihendarstellung für [mm]f(x) = x, x \in [-\pi, \pi)[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich habe vorhin begonnen, mich mit Fourrierreihen zu
> beschäftigen und dies ist also praktisch die zweite
> Fourierreihe, die ich selbst berechnen möchte. Vorgehen:
>
> Da f(x) offensichtlich ungerade ist, gilt [mm]a_n = \bruch{\pi}{2} * \integral_{0}^{\pi}{f(x) cos (nx) dx}[/mm]
> und [mm]b_n = 0.[/mm]
>
> Damit komme ich auch bei mehrmaligem Rechnen auf [mm]\bruch{2n cos (nx)*x+\pi sin (\pi n)}{\pi n^2}[/mm].
Poste dazu Deine bisherigen Rechenschritte.
> Bei Wolfram Alpha fehlt das x im ersten Summanden im
> Zähler des Bruchs. Warum, verstehe ich hier nicht. Soll
> ich meinen Rechneweg für die partielle Integration posten
> oder wird der Fehler irgendwie anders deutlich? Oder ist
> möglicherweise die Lösung von Wolfram Alpha nicht
> korrekt?
>
Vielleicht ist Dir beim Integrieren ein Fehler unterlaufen.
> Die Fourrierreihe ergibt sich mit [mm]b_0 = 0[/mm] zu:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}[/mm] [mm]\bruch{2n cos (nx)*x+\pi sin (\pi n)}{\pi n^2} * sin (nx)[/mm].
>
Nein, das ist nicht korrekt.
> Ist das korrekt? Im Internet habe ich eine Beispielrechnung
> gefunden, die ich bereits bei der Integration nicht
> verstehe, und zwar direkt den ersten Schritt. Ich habe sie
> als Bild angehängt. Wo kommt die eckige Klammer im ersten
> Schritt her bzw. was hat diese Schreibweise zu bedeuten?
> So, wie ich das kenne (Stammfunktion mit den Grenzen)
> handelt es sich um eine Differenz mit den Grenzen für die
> Veränderliche eingesetzt (hier aber keine vorhanden,
> sodass der Wert der Klammer doch 0 ergeben müsste?!). Ich
> bin sehr verwirrt über diese Integration und würde mich
> über etwas Erleuchtung freuen :)
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Vielen Dank im Voraus!
Gruss
MathePower
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Hallo,
vielen Dank für die Antwort.
Zunächst mal: Ich hatte bereits im Ausgangspost mehrere Fehler zur Berechnung von Fourier-Reihen, die ich jetzt korrigiert habe.
> Vielleicht ist Dir beim Integrieren ein Fehler
> unterlaufen.
In der Tat, so war es. Ich habe einen grundlegenden Fehler bei der partiellen Integration gemacht, und zwar habe ich die Grenzen im ersten Summanden nicht beachtet. Mein neues Ergebnis entspricht dem von Wolfram Alpha und lautet:
[mm] $b_n [/mm] = [mm] \bruch{2 sin (n*\pi) - \pi * n cos (\pi * n)}{\pi * n^2}$
[/mm]
Entsprechend komme ich jetzt auf:
$f(x) = [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{2 sin (n*\pi) - \pi * n * cos (\pi * n)}{\pi * n^2} [/mm] * sin (n*x)$
Ist das korrekt?
Die als Bild im ersten Beitrag gepostete Vorgehensweise ist mir dadurch jetzt auch klar. Da stand ich wirklich auf dem Schlauch.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:47 Mi 02.01.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
ja das sieht gut aus, aber es lässt noch einiges im Bruch wegkürzen und der Sinus von Vielfachen von Pi wird garantiert immer eine Null liefern.
Viele Grüße,
Infinit
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Hallo zettelbox,
> Hallo,
>
> vielen Dank für die Antwort.
>
> Zunächst mal: Ich hatte bereits im Ausgangspost mehrere
> Fehler zur Berechnung von Fourier-Reihen, die ich jetzt
> korrigiert habe.
>
> > Vielleicht ist Dir beim Integrieren ein Fehler
> > unterlaufen.
>
> In der Tat, so war es. Ich habe einen grundlegenden Fehler
> bei der partiellen Integration gemacht, und zwar habe ich
> die Grenzen im ersten Summanden nicht beachtet. Mein neues
> Ergebnis entspricht dem von Wolfram Alpha und lautet:
>
> [mm]b_n = \bruch{2 sin (n*\pi) - \pi * n cos (\pi * n)}{\pi * n^2}[/mm]
>
> Entsprechend komme ich jetzt auf:
>
> [mm]f(x) = \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{2 sin (n*\pi) - \pi * n * cos (\pi * n)}{\pi * n^2} * sin (n*x)[/mm]
>
Das muss doch lauten:
[mm]f(x) = \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{2 sin (n*\pi) - \blue{2}*\pi * n * cos (\pi * n)}{\pi * n^2} * sin (n*x)[/mm]
> Ist das korrekt?
>
> Die als Bild im ersten Beitrag gepostete Vorgehensweise ist
> mir dadurch jetzt auch klar. Da stand ich wirklich auf dem
> Schlauch.
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:00 Mi 02.01.2013 | | Autor: | zettelbox |
Das stimmt, ich hatte auf meinem Zettel die 2 ausgeklammert und dann beim Eintippen hier die Klammer vergessen. Komme mit dem Code für die Formeln noch nicht so ganz klar. Vielen Dank!
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