einfacher Induktionsbeweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:25 Fr 27.04.2012 | | Autor: | Infoandi |
| Aufgabe | Beweisen Sie mit vollständiger Induktion:
[mm] \summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}*\vektor{n\\k} [/mm] = 0 |
Die Aufgabe sollte eigentlich sehr simple sein.
Induktionsanfang: n=1
[mm] \summe_{k=0}^{1}(-1)^{k}*\vektor{n\\k} =(-1)^{0}*\vektor{1\\0}+(-1)^{1}*\vektor{1\\1}= [/mm] 0
Induktionsverankerung:
[mm] \summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}*\vektor{n\\k} [/mm] = 0
Induktionsschritt: n [mm] \mapsto [/mm] n+1
so nu brauch ich den nötigen "ahhhh" Effekt.
Eigentlich dachte ich mir das wie folgt:
[mm] \summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}*\vektor{n\\k}+(-1)^{n+1}*\vektor{n+1\\n+1}
[/mm]
oder reicht es etwa schon wenn ich : n = 1
[mm] \summe_{k=0}^{n+1}(-1)^{k}*\vektor{n+1\\k} [/mm] = [mm] (-1)^{0}*\vektor{1+1\\0}+(-1)^{1}*\vektor{1+1\\1}+(-1)^{2}*\vektor{1+1\\2}= [/mm] 0
mache ?
aber es bringt mich beides nicht wirklich zu meinem gewünschten Ergebnis.
kann mir wer weiterhelfen ?
Grüße Andi
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> Beweisen Sie mit vollständiger Induktion:
> [mm]\summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}*\vektor{n\\
k}[/mm] = 0
>
>
>
Hallo,
> Die Aufgabe sollte eigentlich sehr simple sein.
> Induktionsanfang: n=1
> [mm]\summe_{k=0}^{1}(-1)^{k}*\vektor{n\\
k} =(-1)^{0}*\vektor{1\\
0}+(-1)^{1}*\vektor{1\\
1}=[/mm]
> 0
> Induktionsverankerung:
> [mm]\summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}*\vektor{n\\
k}[/mm] = 0
gilt für ein [mm] n\in \IN [/mm]
> Induktionsschritt: n [mm]\mapsto[/mm] n+1
>
> so nu brauch ich den nötigen "ahhhh" Effekt.
Erstmal sollte hier stehen, was nun gezeigt werden soll, nämlich
[mm] $\summe_{k=0}^{n+1}(-1)^{k}*\vektor{n+1\\k}$ [/mm] =0.
> Eigentlich dachte ich mir das wie folgt:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}*\vektor{n\\
k}+(-1)^{n+1}*\vektor{n+1\\
n+1}[/mm]
Was meinst Du damit? ich seh' keine Gleichung...
Es ist sicher [mm] $\summe_{k=0}^{n+1}(-1)^{k}*\vektor{n+1\\k}$\green{\not=}$\summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}*\vektor{n\\k}+(-1)^{n+1}*\vektor{n+1\\n+1}$, [/mm] von daher kann das nicht klappen.
>
> oder reicht es etwa schon wenn ich : n = 1
> [mm]\summe_{k=0}^{n+1}(-1)^{k}*\vektor{n+1\\
k}[/mm] =
> [mm](-1)^{0}*\vektor{1+1\\
0}+(-1)^{1}*\vektor{1+1\\
1}+(-1)^{2}*\vektor{1+1\\
2}=[/mm] 0
> mache ?
Nein, natürlich nicht! Du willst doch zeigen, daß es für beliebiges n gilt .
> aber es bringt mich beides nicht wirklich zu meinem
> gewünschten Ergebnis.
> kann mir wer weiterhelfen ?
Ich hab's jetzt nicht gerechnet, aber ich würde mal versuchen, mich ausgehend von [mm] $\summe_{k=0}^{n+1}(-1)^{k}*\vektor{n+1\\k}$ [/mm] mit dem Additionstheorem für Binomialkoeffizienten weiterzuhangeln und in diesem Zuge irgendwie daraufhinarbeiten, daß der Ausdruck [mm] $\summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}*\vektor{n\\k}$ [/mm] im Laufe der Rechnung auftaucht.
LG Angela
> Grüße Andi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:35 Fr 27.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beweisen Sie mit vollständiger Induktion:
> [mm]\summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}*\vektor{n\\k}[/mm] = 0
>
>
>
> Die Aufgabe sollte eigentlich sehr simple sein.
> Induktionsanfang: n=1
> [mm]\summe_{k=0}^{1}(-1)^{k}*\vektor{n\\k} =(-1)^{0}*\vektor{1\\0}+(-1)^{1}*\vektor{1\\1}=[/mm]
> 0
> Induktionsverankerung:
> [mm]\summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}*\vektor{n\\k}[/mm] = 0
> Induktionsschritt: n [mm]\mapsto[/mm] n+1
>
> so nu brauch ich den nötigen "ahhhh" Effekt.
> Eigentlich dachte ich mir das wie folgt:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}*\vektor{n\\k}+(-1)^{n+1}*\vektor{n+1\\n+1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
wie Angela schon schrieb wolltest Du da sicher eine Gleichheit stehen haben. Es gilt zwar natürlich:
$$\sum_{k=0}^{n+1}a_k=(\sum_{k=0}^n a_k)+a_{n+1}\,,$$
das darfst Du verwenden, aber die $a_k$ linkerhand und rechterhand müssen die gleichen sein:
Du benutzt einmal $a_k=a_k(\red{n+1})=(-1)^k\vektor{\red{n+1}\\k}$ und danach dann $a_k=a_k(\red{n})=(-1)^k\vektor{\red{n}\\k}\,.$
Das geht dann natürlich nicht!
$$\summe_{k=0}^{n+1}(-1)^{k}*\vektor{n+1\\k}=\left(\summe_{k=0}^{\blue{\mathbf{n}}}(-1)^{k}*\vektor{\red{n+1}\\k}\right)+(-1)^{n+1}*\vektor{n+1\\n+1}$$
darfst Du benutzen! (Bei Dir steht rechterhand fälschlicherweise anstatt das $\red{n+1}$ nur $\red{n}$ im Binom.Koeff..)
P.S.
Ohne vollst. Induktion ist die Aufgabe mit der allg. bin. Formel übrigens trivial:
Dazu berechnet man einfach $0^n=(1+(-1))^n\,.$ Aber ihr sollt sicher Induktionsbeweise lernen/üben!
P.P.S.
Tipps:
$$1.)\;\;\;{n\choose k}+{n\choose k+1}={n+1 \choose k+1}$$
und
$$2.)\;\;\;\sum_{\ell=m}^p a_\ell{n+1 \choose \ell} =\sum_{\ell=m\red{\mathbf{-1}}}^{p\red{\mathbf{-1}}}a_{\ell\red{\mathbf{+1}}}} {n+1 \choose \ell\red{\mathbf{+1}}}\,.$$
Gruß,
Marcel
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