einfaches Umstellen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:18 Do 09.07.2009 | | Autor: | Achtzig |
HallO!
ich will gerade iene gewöhnliche DGl durch trennung der variablen lösen aber irgendwie häng ich gerade. doofe frage aber wie lös ich das nach y auf??
[mm] y^{3/2}= [/mm] 3/2*(t+C)
Danke schonmal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Achtzig!
Warum willst Du umstellen? Du kannst Doch nun bereits schön integrieren.
Anderenfalls kannst Du auch beide Seiten der Gleichung "hoch [mm] $\bruch{2}{3}$ [/mm] nehmen".
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Do 09.07.2009 | | Autor: | Achtzig |
hatte vorher schon integriert und dachte ich komm dann jetzt so darauf.. hatten wir in nem einfachen beispiel mal so gemacht und dann hab ich ja y(t) und muss nur noch das c bestimmen oder nicht?
ursprünglich heißt es übrigens: y′ =2y/t mit [mm] y(t_0)=y_0
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:43 Do 09.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hatte vorher schon integriert und dachte ich komm dann
> jetzt so darauf.. hatten wir in nem einfachen beispiel mal
> so gemacht und dann hab ich ja y(t) und muss nur noch das c
> bestimmen oder nicht?
>
> ursprünglich heißt es übrigens: y′ =2y/t mit
> [mm]y(t_0)=y_0[/mm]
was hast Du denn da gerechnet? Ich rechne mal etwas lasch drauf los:
[mm] $$\frac{dy}{dt}=\frac{2y}{t}$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow \int \frac{1}{y}\;dy=2\int \frac{1}{t}\;dt$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow \ln(y)=2\ln(t)+C$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow y=e^{2\ln(t)+C}=e^C*\big(e^{\ln(t)}\big)^2=e^C*t^2$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow y(t)=e^C*t^2\,.$$
[/mm]
Nun ist noch die Anfangsbedingung einzubringen. Und wenn [mm] $y_0 [/mm] < [mm] 0\,,$ [/mm] dann kannst Du anstatt [mm] $y(t)=e^C*t^2$ [/mm] einfach mal [mm] $y(t)=-e^C*t^2$ [/mm] betrachten.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Do 09.07.2009 | | Autor: | Achtzig |
ja also die schritte von dir versteh ich alle.. klingt ja auch alles ziemlich logisch.
aber wie ich jetzt dieses C bestimmen soll weiß ich ehrlich gesagt nicht, weil wir hatten meistens nur dass y(0) irgendwas geben sollte und man dann das C einfahc bestimmen konntew aber hier weiß ich ehrlich gesagt nicht weiter.. kannst du mir das wohl noch mal erklären?
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Hallo Achtzig!
Setze doch einfach mal ein. Es macht sich vielleicht etwas leichter, wenn Du zunächst umformst zu:
$$y(t) \ = \ [mm] k*t^2$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Do 09.07.2009 | | Autor: | Achtzig |
dann hab ich :
[mm] y(t_0)= [/mm] k * [mm] (t_0)^2 [/mm] = [mm] y_0
[/mm]
--> k = [mm] y_0 [/mm] / [mm] (t_0)^2
[/mm]
und nun? sorry wenn ich mich so dumm anstelle...
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Hallo Actzig!
Und das nun einsetzen in $y(t) \ = \ [mm] k*t^2$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Do 09.07.2009 | | Autor: | Achtzig |
dann :
y(t) = [mm] (y_0 [/mm] / [mm] t_0^2 [/mm] ) [mm] *t^2
[/mm]
und nun? :)
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Jetzt fertig... mehr weißt du nicht 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Do 09.07.2009 | | Autor: | Achtzig |
okay danke :) hab mich wohl nen bisschen doof angestellt aber könnt ihr mir das jetzt nochmal erklären wie das die bedinung erfüllt? weil wenn ich das doch jetzt nach t ableite dann bekomme ich doch: [mm] (2*t*y_0)t_0 [/mm] oder? und das ist ja nicht das was es sein soll --> 2y/t
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Do 09.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> okay danke :) hab mich wohl nen bisschen doof angestellt
> aber könnt ihr mir das jetzt nochmal erklären wie das die
> bedinung erfüllt? weil wenn ich das doch jetzt nach t
> ableite dann bekomme ich doch: [mm](2*t*y_0)t_0[/mm] oder? und das
> ist ja nicht das was es sein soll --> 2y/t
es ist [mm] $(\star)\;\;\;y(t)=\frac{y_0}{t_0^2}*t^2\,.$ [/mm]
1.) Hier gilt [mm] $y(t_0)=\frac{y_0}{t_0^2}*t_0^2=y_0\,.$
[/mm]
2.) Es gilt zudem (für o.E. $t [mm] \not=0$; [/mm] bea.: auch schon in [mm] $y\!\,'=2y/t$ [/mm] muss man ja $t [mm] \not=0$ [/mm] fordern)
[mm] $$\frac{dy}{dt}(t)=\frac{y_0}{t_0^2}*2t=2*\frac{y_0}{t_0^2}*t*\frac{\blue{t}}{\blue{t}}=\frac{2}{t}*\underbrace{\frac{y_0}{t_0^2}*t^2}_{\underset{(\star)}{=y=y(t)}}\,.$$
[/mm]
P.S.:
Du hättest es natürlich auch so nachrechnen können:
[mm] $\alpha)$ [/mm] Es ist einerseits
[mm] $$\frac{dy}{dt}(t)=\frac{y_0}{t_0^2}*2t=2\frac{y_0}{t_0^2}*t\,,$$
[/mm]
und es ist andererseits
[mm] $\beta)$ $$\frac{2y(t)}{t}=\frac{2y(t)}{t}\underset{(\star)}{=}\frac{2\frac{y_0}{t_0^2}*t^2}{t}=2\frac{y_0}{t_0^2}*t\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:32 Do 09.07.2009 | | Autor: | Achtzig |
Danke Marcel!! die intelligente 1 also das t/t, da hatte ich nicht dran gedacht!
den anderen natürlich auch
aber jetzt ist mir so einiges klarer geworden!
gruß Achtzig
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:14 Do 09.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> dann :
> y(t) = [mm](y_0[/mm] / [mm]t_0^2[/mm] ) [mm]*t^2[/mm]
>
> und nun? :)
nun bist Du so gut wie fertig. Man sollte nur aufpassen, dass man nicht durch [mm] $0\,$ [/mm] dividiert (alles obige darfst Du so machen, sofern [mm] $t_0 \not=0$), [/mm] also betrachte auch den Fall [mm] $t_0=0\,.$
[/mm]
P.S.:
Damit Du das auch nochmal siehst:
In der Aufgabenstellung sind [mm] $y_0, t_0$ [/mm] zwar beliebig, aber als fest anzunehmen (d.h. als Parameter). Berechnet hast Du nun als Lösung der Differentialgleichung
[mm] $$y(t):=\frac{\blue{y_0}}{\blue{t_0^2}}*t^2\;\;\;(t \in \IR)\,.$$
[/mm]
Wenn [mm] $\blue{y_0},\,\blue{t_0}$ [/mm] fest vorgegeben sind, dann ist auch die Funktion [mm] $y(t)\,$ [/mm] eindeutig (als Funktion in der Variablen [mm] $t\,$) [/mm] definiert.
Z.B.:
Würde man $y(3)=2$ fordern, so wäre [mm] $y(t):=\frac{2}{3^2}*t^2$ [/mm] die gesuchte Lösung...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:22 Do 09.07.2009 | | Autor: | Achtzig |
ah danke marcel jetzt check ich mir das auch bisschen mehr was da überhaupt so passiert :)
nochmal zu dem fall [mm] t_0= [/mm] 0
ich hatte oben ja [mm] y(t_0) [/mm] = k * [mm] (t_0)^2 [/mm] = [mm] y_0
[/mm]
und da kann ich ja nochmal ansetzten
--> also falls [mm] t_0 [/mm] = o dann ist [mm] y_0 [/mm] auch = 0
reicht das an fallunterscheidung?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:44 Do 09.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ah danke marcel jetzt check ich mir das auch bisschen mehr
> was da überhaupt so passiert :)
> nochmal zu dem fall [mm]t_0=[/mm] 0
> ich hatte oben ja [mm]y(t_0)[/mm] = k * [mm](t_0)^2[/mm] = [mm]y_0[/mm]
> und da kann ich ja nochmal ansetzten
> --> also falls [mm]t_0[/mm] = o dann ist [mm]y_0[/mm] auch = 0
> reicht das an fallunterscheidung?
ähm ja, das ist soweit okay. Wenn man ganz genau ist, müte man sich eh überlegen oder es sollte mitangegeben sein, wo denn die Gleichung [mm] $y\!\,'=\frac{2y}{t}$ [/mm] erfüllt sein soll... denn diese macht ja auch schon für [mm] $t=0\,$ [/mm] erstmal keinen wirklichen Sinn.
Wenn man davon ausgeht, dass man für beliebige Paare [mm] $(t_0,y_0)$ [/mm] nun eine Lösung [mm] $y(t)\,$ [/mm] dieser Gleichung auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] mit [mm] $y(t_0)=y_0$ [/mm] sucht, dann muss natürlich mit dem Ergebnis der obigen Rechnung für [mm] $t_0=0$ [/mm] dann [mm] $y_0=0$ [/mm] gelten. Mit anderen Worten:
Würde man für [mm] $t_0=0$ [/mm] dann [mm] $y(t_0)=y(0)=y_0 \not=0$ [/mm] fordern, so gäbe es keine Lösung...
Gruß,
Marcel
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