eingebettete Runge-Kutta Verf. < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:48 So 29.06.2014 | | Autor: | Moebius |
| Aufgabe | Das Verfahren von Bagacki und Shampine ist ein explizites Runge-Kutta-Verfahren für dessen Konstruktion der Fehlberg-Trick verwendet wurde.
1. Ergänzen Sie das zugehörige Butcher-Schema:
[mm] \pmat{0&||&0&&&\\
&||&1/2&&&&\\
&||&0&3/4&&&\\
&||&&&&\\
-&-&-&-&-\\
p= &||&2/9 & 1/3 & 4/9&\\
p=&||&11/72&5/12&5/9&-1/8\\
}
[/mm]
2. Welche Stufe hat dieses Einschrittverfahren?
3. Zeigen Sie, dass es die Konsistenzordnung p=3 besitzt. |
1. Hier habe ich leider keine Idee wie ich die fehlenden Koeffizienten bestimmen soll. Ich weiß nur, dass es sich um ein explizietes Verfahren handelt, also alle Werte oberhalb und auf der Diagonalen Null sind.
2. Die Stufe ist doch 4, oder?
3. Wir haben in der Vorlesung gelernt, dass bis zur Stufe 4 die Stufe des Verfahrens der Ordnung entspricht. Andererseit haben wir auch gelernt, dass das Ziel der eingebetteten Verfahren ist, in ein Runge-Kutta der Ordnung n ein Verfahren der Ordnung n-1 einzubetten? (warum ist mir leider auch nicht klar, ich will doch immer ein Verfahren möglichst hoher Ordnung?) Die einzige Möglichkeit die ich kenne, die Ordnung eines Verfahrens zu bestimmen sind verschiedene Bedingungsgleichungen, die für die Koeffizienten aus dem Butcher-Tableau gelten müssen, aber wie mache ich das hier bei den eingebetteten Verfahren?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:35 So 29.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Moebius,
> 1. Ergänzen Sie das zugehörige Butcher-Schema:
> [mm]\pmat{0&||&0&&&\\
&||&1/2&&&&\\
&||&0&3/4&&&\\
&||&&&&\\
-&-&-&-&-\\
p= &||&2/9 & 1/3 & 4/9&\\
p=&||&11/72&5/12&5/9&-1/8\\
}[/mm]
Was soll genau ergänzt werden? Annahme:
[mm] \begin{array}{c|cccc} \alpha_1=0&\beta_{11}=0\\ \alpha_2& 1/2 \\ a_3 & 0 & 3/4 \\ \hline & 2/9& 1/3 & 4/9 \\ & 11/72 & 5/12 & 5/9 & -1/8 \end{array}
[/mm]
1. Was meinst du mit p?
2. Was meinst du mit der leeren Zeile?
> 2. Welche Stufe hat dieses Einschrittverfahren?
> 3. Zeigen Sie, dass es die Konsistenzordnung p=3 besitzt.
> 1. Hier habe ich leider keine Idee wie ich die fehlenden
> Koeffizienten bestimmen soll. Ich weiß nur, dass es sich
> um ein explizietes Verfahren handelt, also alle Werte
> oberhalb und auf der Diagonalen Null sind.
Was meinst du mit Diagonale Null? Es ist ein explizites
Verfahren, denn wir haben hier eine untere Dreiecksmatrix
und es gilt [mm] \alpha_{1}=\beta_{11}=0.
[/mm]
> 2. Die Stufe ist doch 4, oder?
Kommt drauf an was du oben genau meinst.
> 3. Wir haben in der Vorlesung gelernt, dass bis zur Stufe
> 4 die Stufe des Verfahrens der Ordnung entspricht.
> Andererseit haben wir auch gelernt, dass das Ziel der
> eingebetteten Verfahren ist, in ein Runge-Kutta der Ordnung
> n ein Verfahren der Ordnung n-1 einzubetten? (warum ist mir
> leider auch nicht klar, ich will doch immer ein Verfahren
> möglichst hoher Ordnung?) Die einzige Möglichkeit die ich
> kenne, die Ordnung eines Verfahrens zu bestimmen sind
> verschiedene Bedingungsgleichungen, die für die
> Koeffizienten aus dem Butcher-Tableau gelten müssen, aber
> wie mache ich das hier bei den eingebetteten Verfahren?
Es gibt einen Satz, der besagt, dass für Konsistenz
[mm] \gamma_1+\ldots+\gamma_n=1
[/mm]
gelten muss. Hier ist diese Eigenschaft mit
$2/9+1/3+4/9=1$ und $11/72+5/12+5/9-1/8=1$
gegeben. [mm] \alpha_1 [/mm] und [mm] \alpha_2 [/mm] sind zu bestimmen mit der Eigenschaft
[mm] \alpha_l=\beta_{l1}+\ldots+\beta_{ll-1},
[/mm]
sodass hier sofort [mm] \alpha_1=1/2 [/mm] und [mm] \alpha_2=3/4 [/mm] folgt.
Zur Konsistenzordnung: [mm] \tau(h)\in\mathcal O(h^3)\gdw\tau(0)=\tau'(0)=\tau''(0).
[/mm]
Das ist auch ein Satz, den ihr sicher schon hattet.
Übrigens würde mich interessieren was damit wurde.
Was war denn die Musterlösung oder Ähnliches?
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 So 29.06.2014 | | Autor: | Moebius |
> Hallo Moebius,
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>
> > 1. Ergänzen Sie das zugehörige Butcher-Schema:
> > [mm]\pmat{0&||&0&&&\\
&||&1/2&&&&\\
&||&0&3/4&&&\\
&||&&&&\\
-&-&-&-&-\\
p= &||&2/9 & 1/3 & 4/9&\\
p=&||&11/72&5/12&5/9&-1/8\\
}[/mm]
>
> Was soll genau ergänzt werden? Annahme:
>
> [mm]\begin{array}{c|cccc} \alpha_1=0&\beta_{11}=0\\ \alpha_2& 1/2 \\ a_3 & 0 & 3/4 \\ \hline & 2/9& 1/3 & 4/9 \\ & 11/72 & 5/12 & 5/9 & -1/8 \end{array}[/mm]
>
In der Aufgabe steht zwar nichts genaueres, ich gehe aber davon aus, ich habe aber mal alle Einträge mit * markiert, die meiner Meinung nach ergänzt werden müssen:
[mm] \pmat{0&||&0&&&\\
\*&||&1/2&&&&\\
\*&||&0&3/4&&&\\
\*&||&\*&\*&\*&&\\
-&-&-&-&-\\
p= &||&2/9 & 1/3 & 4/9&\\
p=&||&11/72&5/12&5/9&-1/8\\
}
[/mm]
> 1. Was meinst du mit p?
In der Vorlesung haben wir mit p immer die Konsistenzordnung bezeichnet, ist aber in der speziellen Aufgabe nicht näher erwähnt.
> 2. Was meinst du mit der leeren Zeile?
Hier sollen auch noch Werte ergänzt werden (siehe oben)
>
> > 2. Welche Stufe hat dieses Einschrittverfahren?
> > 3. Zeigen Sie, dass es die Konsistenzordnung p=3
> besitzt.
> > 1. Hier habe ich leider keine Idee wie ich die
> fehlenden
> > Koeffizienten bestimmen soll. Ich weiß nur, dass es sich
> > um ein explizietes Verfahren handelt, also alle Werte
> > oberhalb und auf der Diagonalen Null sind.
>
> Was meinst du mit Diagonale Null? Es ist ein explizites
> Verfahren, denn wir haben hier eine untere Dreiecksmatrix
> und es gilt [mm]\alpha_{1}=\beta_{11}=0.[/mm]
>
> > 2. Die Stufe ist doch 4, oder?
>
> Kommt drauf an was du oben genau meinst.
>
> > 3. Wir haben in der Vorlesung gelernt, dass bis zur Stufe
> > 4 die Stufe des Verfahrens der Ordnung entspricht.
Stimmt das überhaupt? Dann hätte ich hier ja die Ordnung 4 und nicht drei?
> > Andererseit haben wir auch gelernt, dass das Ziel der
> > eingebetteten Verfahren ist, in ein Runge-Kutta der Ordnung
> > n ein Verfahren der Ordnung n-1 einzubetten? (warum ist mir
> > leider auch nicht klar, ich will doch immer ein Verfahren
> > möglichst hoher Ordnung?) Die einzige Möglichkeit die ich
> > kenne, die Ordnung eines Verfahrens zu bestimmen sind
> > verschiedene Bedingungsgleichungen, die für die
> > Koeffizienten aus dem Butcher-Tableau gelten müssen, aber
> > wie mache ich das hier bei den eingebetteten Verfahren?
>
> Es gibt einen Satz, der besagt, dass für Konsistenz
>
> [mm]\gamma_1+\ldots+\gamma_n=1[/mm]
>
> gelten muss. Hier ist diese Eigenschaft mit
>
> [mm]2/9+1/3+4/9=1[/mm] und [mm]11/72+5/12+5/9-1/8=1[/mm]
>
> gegeben. [mm]\alpha_1[/mm] und [mm]\alpha_2[/mm] sind zu bestimmen mit der
> Eigenschaft
>
> [mm]\alpha_l=\beta_{l1}+\ldots+\beta_{ll-1},[/mm]
>
> sodass hier sofort [mm]\alpha_1=1/2[/mm] und [mm]\alpha_2=3/4[/mm] folgt.
>
Das gleiche muss dann auch für die [mm]\tilde{\gamma_i}[/mm] gelten (also die letzte Zeile des eingebetteten Verfahrens? Daraus kann ich dann mein [mm]\alpha_3[/mm] bestimmen?
> Zur Konsistenzordnung: [mm]\tau(h)\in\mathcal O(h^3)\gdw\tau(0)=\tau'(0)=\tau''(0).[/mm]
>
> Das ist auch ein Satz, den ihr sicher schon hattet.
>
>
> Übrigens würde mich interessieren was
> damit wurde.
> Was war denn die Musterlösung oder Ähnliches?
>
>
> Gruß
> DieAcht
Aber was bringt mir jetzt das Ganze, was habe ich durch das eingebettete Verfahren gewonnen?
Gruß
Moebius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:52 So 29.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
> In der Vorlesung haben wir mit p immer die
> Konsistenzordnung bezeichnet, ist aber in der speziellen
> Aufgabe nicht näher erwähnt.
Ja, in der Regel ist das auch der Fall.
> > Es gibt einen Satz, der besagt, dass für Konsistenz
> >
> > [mm]\gamma_1+\ldots+\gamma_n=1[/mm]
> >
> > gelten muss. Hier ist diese Eigenschaft mit
> >
> > [mm]2/9+1/3+4/9=1[/mm] und [mm]11/72+5/12+5/9-1/8=1[/mm]
> >
> > gegeben. [mm]\alpha_1[/mm] und [mm]\alpha_2[/mm] sind zu bestimmen mit der
> > Eigenschaft
> >
> > [mm]\alpha_l=\beta_{l1}+\ldots+\beta_{ll-1},[/mm]
> >
> > sodass hier sofort [mm]\alpha_1=1/2[/mm] und [mm]\alpha_2=3/4[/mm] folgt.
Ich meinte hier: [mm] \alpha_2=1/2 [/mm] und [mm] \alpha_3=3/4. [/mm] ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
> Das gleiche muss dann auch für die [mm]\tilde{\gamma_i}[/mm] gelten
> (also die letzte Zeile des eingebetteten Verfahrens? Daraus
> kann ich dann mein [mm]\alpha_3[/mm] bestimmen?
Du meinst [mm] \alpha_4. [/mm] Wir haben
[mm] \begin{array}{c|cccc} \alpha_1=0&\beta_{11}=0\\ \alpha_2& 1/2 \\ \alpha_3 & 0 & 3/4 \\ \alpha_4 & \beta_{41} & \beta_{42} & \beta_{43} \\ \hline & 2/9& 1/3 & 4/9 \\ & 11/72 & 5/12 & 5/9 & -1/8 \end{array}
[/mm]
und erhalten mit obigen Überlegungen
[mm] \begin{array}{c|cccc} \alpha_1=0&\beta_{11}=0\\ \alpha_2=1/2& 1/2 \\ \alpha_3=3/4 & 0 & 3/4 \\ \alpha_4 & \beta_{41} & \beta_{42} & \beta_{43} \\ \hline & 2/9& 1/3 & 4/9 \\ & 11/72 & 5/12 & 5/9 & -1/8 \end{array},
[/mm]
sodass wir mit der Eigenschaft
[mm] \alpha_4=\beta_{41}+\beta_{42}+\beta_{43}
[/mm]
nur noch zeigen müssen, dass
[mm] \tau(h)\in\mathcal O(h^3).
[/mm]
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