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eingeschlossene Fläche: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:36 Di 11.12.2007
Autor: espritgirl

Aufgabe
Berechnen Sie den Inhalt der von den Graphen f und g eingeschlossene Fläche

Hallo Zusammen [winken],

Also, ich muss zwei Aufgaben zu dieser Aufgabenstellung rechnen und mir sind da ein paar Sachen unklar:

a) [mm] f(x)=x^{2.5} [/mm]
   g(x)=-x+2

=> Den Graphen habe ich gezeichnet, also mir ist klar, welche Fläche ausgrechnet werden soll.

Nun bestimmen wir die Schnittpunkte, die dann unsere Grenzen sind:

f(x)=g(x)

[mm] x^{2.5}=-x+2 [/mm]
=> [mm] x_{1}= [/mm] 1  [mm] x_{2}=-2 [/mm]

Dann stellt man die Integrale auf:

[mm] \integral_{-2}^{1}{x_{2} dx} [/mm] = [mm] [\bruch{1}{3}x_{3}]_{-2}^{1} [/mm]
=> 3


[mm] \integral_{-2}^{1}{-x+2 dx} [/mm] = [mm] [-\bruch{1}{2}x_{2}+2x]_{-2}^{1} [/mm]
=> [mm] \bruch{3}{4} [/mm]

==> [mm] -\bruch{9}{2} [/mm] - 3 = -4,5 = |4,5|

Und jetzt eine kleine Fragenflut:

Ich wollte eigentlich am Anfang nur ein Integral aufstellen, und zwar folgendes:

[mm] \integral_{-2}^{1}{x_{2}-x+2 dx} [/mm]

Wieso muss man hier die Integrale einzeln ausrechnen? Stimmt das überhaupt? Auf diesen Weg hat mich meine Freundin gebracht, die Mathe-LK hat.

Und die zweite Frage:

Wenn ich die Integrale ausgerechnet habe, dann kommt ja auf das Ergebnis 3 und - [mm] \bruch{9}{2}. [/mm] Woher weiß ich jetzt, dass ich das kleinere Ergebnis vom größeren Ergebnis abziehen muss? Erkennt man das irgendwo dran? Vielleicht am Graphen?

Und die letzte Frage:

Am Ende kommt ein negatives Ergebnis raus, dass heißt, ich muss Betragszeichen setzten. Geht das so einfach, wie ich das in meiner Rechnung getan habe, oder muss ich da noch auf etwas achten, wie zum beispiel auf die mathematisch korrekte Schreibweise?


Liebe Grüße,

Sarah :-)

        
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eingeschlossene Fläche: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:48 Di 11.12.2007
Autor: Tyskie84

Ein kleinen Tipp kann ich dir geben: und zwar woher weist du wann du f(x)-g(x) ins Integral einsetzt und wann weisst du wann du g(x)-f(x) ist integral einsetzt und die Fläche berechnest.? :-)

Gruß

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eingeschlossene Fläche: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:54 Di 11.12.2007
Autor: espritgirl

Hey Tyskie [winken],

> Ein kleinen Tipp kann ich dir geben: und zwar woher weist
> du wann du f(x)-g(x) ins Integral einsetzt und wann weisst
> du wann du g(x)-f(x) ist integral einsetzt und die Fläche
> berechnest.? :-)

Hmmm... Ich würde sagen (aber ich weiß es nicht!), dass man sich dafür den Graphen angucken muss. Wenn der Graph im positiven Bereich ist, dann rechnet man g(x)-f(x)

und wenn der Graph in den negativen Bereich geht, dann anders rum.


Liebe Grüße,

Sarah :-)

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eingeschlossene Fläche: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:08 Di 11.12.2007
Autor: Tyskie84

Hmm das ist nicht ganz richtig du brauchst dir nichteinmal deinen Graphen anschaUen:

Schau: Nekme an g(x)>f(x) [-2,1] dafür musst du dann -1,0,1 da du ja im Interval [-2,1] bist in deine funktionen einsetzen. Guck dann ob dann immer g(x)>f(x) ist das der Fall dann musst du die größere Fkt also g(x) von der kleineren also f(x) abziehen. Bei g(x)<f(x) ist das dann anderes herum. hier musst du dann auch deine zahlen einseten und schauen on immer g(x)<f(x) ist dann rechnest du f(x)-g(x). Immer die größere Fkt von der kleineren abziehen :-)

Ich hoffe ich konnte dir helfen. Achja und als Ergebnis solltest du 4,5 herausbekommen ;-)

[cap] Gruß

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eingeschlossene Fläche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:59 Di 11.12.2007
Autor: Tyskie84

Hallo

Das was du gemacht hast ist leider nicht ganz korrekt. Du berechnest erst nur das Integral mit den Grenzen von -2 bis 1. Das ist falsch denn dann berechnest du ja nicht die Fläche inerhalb von g(x) und f(x). Genau das selbe beim zweiten Integral. einmal steht bei dir [mm] x^{2,5} [/mm] und dann [mm] x_{2}? [/mm] Ich nehme an du meinst f(x)=x² :-)

Also berechne das Integral so: [mm] \integral_{-2}^{1}{g(x)-f(x) dx}. [/mm] Als ergebnis solltest du nicht negatives herausbekommen!

[cap] Gruß

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eingeschlossene Fläche: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:09 Di 11.12.2007
Autor: espritgirl

Hey Tyskie [winken],

> einmal steht bei dir [mm]x^{2,5}[/mm] und dann
> [mm]x_{2}?[/mm] Ich nehme an du meinst f(x)=x² :-)

Richtig... Ich kopiere immer die Codes und da vergesse ich schon mal gut und gerne, die Zahlen anzupassen, tut mir Leid.

> Also berechne das Integral so: [mm]\integral_{-2}^{1}{g(x)-f(x) dx}.[/mm]
> Als ergebnis solltest du nicht negatives herausbekommen!

Wie Natürlich nicht "Wie", sondern Warum  muss man g(x)-f(x) hier rechnen?


LG

Sarah

Und danke für deine Antwort!

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eingeschlossene Fläche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:11 Di 11.12.2007
Autor: Tyskie84

Hey
g(x)=-x+2
f(x)=x²

Jetzt rechnest du g(x)-f(x) also -x+2-x²=-x²-x+2 :-)

Gruß

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eingeschlossene Fläche: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:21 Di 11.12.2007
Autor: espritgirl

Hallo Tyskie [winken],

Habe erstens deine Mitteilung zu spät gesehen und natürlich sollte es nicht heißen "Wie rechnet man...", sondern "Warum rechnet man..." => Mein Fehler ;-)

Ich zitiere mal deine Mitteilung:

> Schau: Nekme an g(x)>f(x) [-2,1] dafür musst du dann
> -1,0,1 da du ja im Interval [-2,1] bist in deine
> funktionen einsetzen. Guck dann ob dann immer g(x)>f(x)
> ist das der Fall dann musst du die größere Fkt also g(x) > von der kleineren also f(x) abziehen. Bei g(x)<f(x) ist
> das dann anderes herum. hier musst du dann auch deine
> zahlen einseten und schauen on immer g(x)<f(x) ist dann
> rechnest du f(x)-g(x). Immer die größere Fkt von der
> kleineren abziehen

Warum setze ich nur -1 bis 1 in die Funktion ein, und nicht -2 bis 1?

Okay, ich glaube, den Rest müsste ich verstanden haben...

Ansonsten melde ich mich wieder ;-)


Liebe grüße,

Sarah :-)

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eingeschlossene Fläche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:37 Di 11.12.2007
Autor: Tyskie84

Einmal zu warum :-) weil du ja das größer vom kleineren abziehst. anderes herum würdest du was negatives heraus bekommen. :-)

zur zweiten frage: weil es ein abgeschlossenes Interval ist. Du kennst doch den Unterschied zwischen [-2,1] und (-2,1) außerdem sind die punkte -2 und 1 doch die schnittpunkte demnach müsstest du NUR -1 und 0 einsetzten nicht die 1 das war mein fehler ;-)

Gruß

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eingeschlossene Fläche: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:32 Di 11.12.2007
Autor: espritgirl

Hey du [winken],

Noch eine kleine Frage:

Welcher X Wert wird in die Funktionen eingesetzt?

Oder werden in jede Funktion beide x-Werte eingesetzt und diese dann addiert?

Liebe Grüße,

Sarah :-)

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eingeschlossene Fläche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:38 Di 11.12.2007
Autor: Tyskie84

Hey

Ich verstehe nicht ganz was du meinst:

Du hast g(x)>f(x)

Berechne jetzt g(-1)>f(-1) und schau on die gleichung erfüllt ist. schreib das mal hier auf!

[cap]

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eingeschlossene Fläche: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:46 Di 11.12.2007
Autor: espritgirl

Hey du [winken],

> Du hast g(x)>f(x)

> Berechne jetzt g(-1)>f(-1) und schau on die gleichung
> erfüllt ist. schreib das mal hier auf!

g(x)=-x+2 und [mm] f(x)=x^{2} [/mm]

=> -1+2 > [mm] -1^{2} [/mm]
= 1>1 ---> und das ist nicht richtig...


Sarah :-)

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Bezug
eingeschlossene Fläche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:55 Di 11.12.2007
Autor: Tyskie84


>  
> g(x)=-x+2 und [mm]f(x)=x^{2}[/mm]
>  
> => -1+2 > [mm]-1^{2}[/mm]
>  = 1>1 ---> und das ist nicht richtig...

>  

Ja [applaus] da hast du recht das ist nicht richtig ABER leider hast du das falsch gerechnet :-(

Schau: g(x)>f(x)
g(x)=-x+2 und f(x)=x²
Also Die Behauptung ist dass g(-1)>f(-1)
-(-1)+2>(-1)²
[mm] \Rightarrow [/mm] 1+2>1
[mm] \Rightarrow [/mm] 3>1
[mm] \Rightarrow [/mm] WAHR :-)

Noch ne kleine Frage an dich: berechne mal (-1)² und -1²

[cap]

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eingeschlossene Fläche: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:06 Di 11.12.2007
Autor: espritgirl

Hey Tyskie [winken],

> >  

> > g(x)=-x+2 und [mm]f(x)=x^{2}[/mm]
>  >  
> > => -1+2 > [mm]-1^{2}[/mm]
>  >  = 1>1 ---> und das ist nicht richtig...

>  >  
>
> Ja [applaus] da hast du recht das ist nicht richtig ABER
> leider hast du das falsch gerechnet :-(

Upps...

Aber ist es egal, welches x ich in die Funktionen einsetze? Ich erhalte ja nach der Schnittpunktberechnung (meistens) 2 x.
  

> Schau: g(x)>f(x)
> g(x)=-x+2 und f(x)=x²
>  Also Die Behauptung ist dass g(-1)>f(-1)
>  -(-1)+2>(-1)²
>  [mm]\Rightarrow[/mm] 1+2>1
>  [mm]\Rightarrow[/mm] 3>1
> [mm]\Rightarrow[/mm] WAHR :-)

Ja, da muss ich dir wohl Recht geben ;-)
  

> Noch ne kleine Frage an dich: berechne mal (-1)² und -1²

[mm] (-1)^{2} [/mm] = 1
[mm] -1^{2} [/mm] = -1

Müsste so sein, immerhin steht das zweite Minus ja nicht in Klammern (sollte es falsch sein: Armutszeugnis für mich, da ich das im Kopf "ausgerechnet" habe ;-) )


Liebe grüße,

Sarah :-)

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eingeschlossene Fläche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:13 Di 11.12.2007
Autor: Tyskie84

Ich verstehe leider immer noch nicht was du damit meinst. Du setzt kein x in deine Funktion ein sondern einmal die 0 und einmal die -1 weil du ja das intervall [-2,1] hast.

Das ist alles mehr musst du nicht machen denn dann weisst du dass dann g(x)>f(x) ist somit rechnest du im integral g(x)-f(x) :-)

[cap]

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eingeschlossene Fläche: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:16 Di 11.12.2007
Autor: espritgirl

Hallo Tyskie [winken],

> Ich verstehe leider immer noch nicht was du damit meinst.
> Du setzt kein x in deine Funktion ein sondern einmal die 0
> und einmal die -1 weil du ja das intervall [-2,1] hast.

Oh backe... Das habe ich die ganze Zeit gemacht, dachte aber, dass das die x-Werte aus der Schnittstellenberechnung ist... *grrr* Nachdenken müsste man können!

Würde es denn theoretisch reichen, wenn man nur eine Zahl einsetzt?

> Das ist alles mehr musst du nicht machen denn dann weisst
> du dass dann g(x)>f(x) ist somit rechnest du im integral
> g(x)-f(x) :-)

Das habe ich wenigstens verstanden ;-)


Liebe Grüße und noch mal sorry,

Sarah :-)

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Bezug
eingeschlossene Fläche: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:37 Di 11.12.2007
Autor: Tyskie84

Hallo ich gebe dir mal eine Zeichnung dann siehst du dass der Flächeninhalt auch nicht negativ werden kann. :-)

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