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el. Feldkonstante errechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:35 So 09.11.2014
Autor: Teryosas

Aufgabe
Betrachtet wird eine homogen mit Dichte [mm] \rho [/mm] elektrisch geladene Kugel [mm] B\subseteq \IR^3 [/mm] mit dem Radis R>0 und dem Koordiantenursprung als Mittelpunkt. Das dazugehörige elektrostatische Potenzial [mm] \phi(\vec{s}) [/mm] in einem Punkt [mm] \vec{s}=(0,0,s) [/mm] mit s>R ist dann gegeben durch
[mm] \phi(\vec{s})=\bruch{\rho}{4\pi\varepsilon_{0}}\integral_{B}^{}{\bruch{1}{|\vec{x}-\vec{s}|}} [/mm]
mit der elektrischen Feldkonstanten [mm] \varepsilon_{0}. [/mm] Berechnen Sie [mm] \phi(\vec{s}) [/mm]

Hey,
bin mir bei dieser Aufgabe nicht ganz sicher weil ich da nach dem Vektor [mm] \vec{x} [/mm] integrieren soll.
Also als erstes würde ich sagen das die untere Grenze 0 ist und die obere Grenze R.

Aber wie es jetzt weiter geht bin ich mir nicht sicher. Hab noch nie nen Betrag integiert... würde jetzt sagen das entspreche [mm] ln|\vec{x}-\vec{s}| [/mm]
aber das wäre wohl zu leicht?

        
Bezug
el. Feldkonstante errechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:47 So 09.11.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

Du hast eine homogen geladene Kugel mit Zentrum im Koordinatenursprung.
Verwende nun Polarkoordinaten,  dann vereinfacht sich deine Formel aus Symmetriegründen erheblich.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
el. Feldkonstante errechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:41 So 09.11.2014
Autor: Teryosas

hmm ja ok das klingt logisch. Hab ne Kugel das in Kugelkoordianten zu transformieren.
damit ergibt sich ja
[mm] \vec{x}=\vektor{r*cos\varphi*cos\delta \\r*sin\varphi*cos\delta \\ r*sin\delta} [/mm]
Das dann minus dem [mm] \vec{s} [/mm] aus der Aufgabe und daraus den Betrag ergäbe ja

[mm] \wurzel{(r*cos\varphi*cos\delta)^2 + (r*sin\varphi*cos\delta)^2 + (r*sin\delta - s)^2} [/mm] = [mm] r\wurzel{cos\varphi^2*cos\delta^2 + sin\varphi^2*cos\delta^2 + sin\delta^2 - s^2} [/mm]

Dann daraus das Integral bilden?

[mm] \integral_{0}^{R}{\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{1}{r\wurzel{cos\varphi^2*cos\delta^2 + sin\varphi^2*cos\delta^2 + sin\delta^2 - s^2}}d\delta d\varphi dr}}} [/mm]

Mein Bauch sagt ist richtig. Aber mein Kopf sagt das bei der Wurzel irgendwas falsch gelaufen ist? Oder kann man die noch vereinfachen und ich habe es nur nicht gesehen?

Bezug
                        
Bezug
el. Feldkonstante errechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:45 Di 11.11.2014
Autor: MathePower

Hallo Teryosas,

> hmm ja ok das klingt logisch. Hab ne Kugel das in
> Kugelkoordianten zu transformieren.
> damit ergibt sich ja
> [mm]\vec{x}=\vektor{r*cos\varphi*cos\delta \\r*sin\varphi*cos\delta \\ r*sin\delta}[/mm]
>  
> Das dann minus dem [mm]\vec{s}[/mm] aus der Aufgabe und daraus den
> Betrag ergäbe ja
>  
> [mm]\wurzel{(r*cos\varphi*cos\delta)^2 + (r*sin\varphi*cos\delta)^2 + (r*sin\delta - s)^2}[/mm]
> = [mm]r\wurzel{cos\varphi^2*cos\delta^2 + sin\varphi^2*cos\delta^2 + sin\delta^2 - s^2}[/mm]
>  


Die rechte Seite stimmt nicht.
Aus der Wurzel kann kein "r" ausgeklammert werden.


> Dann daraus das Integral bilden?
>  
> [mm]\integral_{0}^{R}{\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{1}{r\wurzel{cos\varphi^2*cos\delta^2 + sin\varphi^2*cos\delta^2 + sin\delta^2 - s^2}}d\delta d\varphi dr}}}[/mm]
>  


Es fehlt hier noch die []Jacobi-Determinante.


> Mein Bauch sagt ist richtig. Aber mein Kopf sagt das bei
> der Wurzel irgendwas falsch gelaufen ist? Oder kann man die
> noch vereinfachen und ich habe es nur nicht gesehen?


Der entstehende Integrand ist dann noch zusammenzufassen.


Gruss
MathePower

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