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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Mo 26.07.2010 | | Autor: | lzaman |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{x\rightarrow0}(cosx)^{\bruch{1}{x^2}} [/mm] |
Hallo zusammen, hier muss ich wohl elementar umformen, wegen [mm] 1^{\infty}.
[/mm]
Also betrachte ich den Exponenten nach L' Hospital:
[mm] \bruch{ln(cosx)}{x^2}
[/mm]
[mm] \bruch{\bruch{1}{cosx}*(-sinx)}{2x} [/mm]
So nun muss ich euch an dieser Stelle fragen, ob ich den Zähler richtig ableite?
[mm] \bruch{-cosx*cosx-(-sinx)*(-sinx)}{cosx*cosx}=\bruch{-cosx+sin^2x}{cosx}
[/mm]
So würde ich auf [mm] \bruch{-1}{2} [/mm] kommen, sprich Lösung: [mm] e^{-1/2}
[/mm]
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> [mm]\limes_{x\rightarrow0}(cosx)^{\bruch{1}{x^2}}[/mm]
> Hallo zusammen, hier muss ich wohl elementar umformen,
> wegen [mm]1^{\infty}.[/mm]
>
> Also betrachte ich den Exponenten nach L' Hospital:
>
> [mm]\bruch{ln(cosx)}{x^2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\bruch{1}{cosx}*(-sinx)}{2x}[/mm]
>
> So nun muss ich euch an dieser Stelle fragen, ob ich den
> Zähler richtig ableite?
>
> [mm]\bruch{-cosx*cosx-(-sinx)*(-sinx)}{cosx*cosx}=\bruch{-cosx+sin^2x}{cosx}[/mm]
>
bedenke: sin(x)/cos(x)=tan(x)
damit läuft alles doch ohne quotiententegel...
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Mo 26.07.2010 | | Autor: | lzaman |
so wende ich wegen [mm] \bruch{-tan(x)}{2x} [/mm] nochmal L'Hospital an und erhalte [mm] -\bruch{1}{2}, [/mm] also [mm] e^{-\bruch{1}{2}}=\bruch{1}{\wurzel{e}}
[/mm]
Richtig so?
Gruß Lzaman
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> so wende ich wegen [mm]\bruch{-tan(x)}{2x}[/mm] nochmal L'Hospital
> an und erhalte [mm]-\bruch{1}{2},[/mm] also
> [mm]e^{-\bruch{1}{2}}=\bruch{1}{\wurzel{e}}[/mm]
>
> Richtig so?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Gruß Lzaman
gruß tee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:44 Mo 26.07.2010 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Wenn Du schon bei
$ \bruch{\bruch{1}{cosx}\cdot{}(-sinx)}{2x} $
angelangt bist, so forme um:
$ \bruch{\bruch{1}{cosx}\cdot{}(-sinx)}{2x} =-\bruch{1}{2}* \bruch{1}{cosx}*\bruch{sinx}{x} \to -\bruch{1}{2}*1*1= -\bruch{1}{2$ für $x \to 0$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Mo 26.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Hallo Fred, kannst du mir das evtl. erklären, wieso [mm] \bruch{sinx}{x}=1 [/mm] ist? Ich komme auf [mm] \bruch{0}{0} [/mm] und ich meine, dass man das nicht als 1 ansehen darf.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:55 Mo 26.07.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo lzaman!
Das sollte aber ein bekannter Grenzwert sein mit [mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\sin(x)}{x} [/mm] \ = \ 1$ .
Dies kannst Du entweder mit de l'Hospital zeigen oder auch wie hier auf geometrischen Weg.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:58 Mo 26.07.2010 | | Autor: | lzaman |
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> Das sollte aber ein bekannter Grenzwert sein mit
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\sin(x)}{x} \ = \ 1[/mm] .
>
Danke, hatte ihn aber so nicht gekannt.
Gruß Lzaman
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 Mo 26.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred, kannst du mir das evtl. erklären, wieso
> [mm]\bruch{sinx}{x}=1[/mm] ist? Ich komme auf [mm]\bruch{0}{0}[/mm] und ich
> meine, dass man das nicht als 1 ansehen darf.
Ergänzend zu Loddar:
1. Es ist nicht [mm]\bruch{sinx}{x}=1[/mm], sondern [mm]\bruch{sinx}{x} \to 1[/mm] für x [mm] \to [/mm] 0
2. Setze $f(x)=sin(x)$, dann ist [mm]\bruch{sinx}{x}=\bruch{f(x)-f(0)}{x-0} \to f'(0)= cos(0)=1[/mm]
3. Weiere Möglichkeit für [mm]\bruch{sinx}{x} \to 1[/mm] für x [mm] \to [/mm] 0: Potenzreihe des Sinus
FRED
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