endlich erzeugte Vektorräume < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:49 So 18.12.2005 | | Autor: | Kati |
| Aufgabe | Es seien V ein Vektorraum und [mm] \alpha: [/mm] V -> V linear mit [mm] \alpha \circ \alpha [/mm] . Zeigen Sie , dass für U:= [mm] \alpha [/mm] (V) und W := ker [mm] \alpha [/mm] gilt:
V = U [mm] \oplus [/mm] W (V ist Komplement von W) und [mm] \alpa [/mm] (u) = u für alle u [mm] \in [/mm] U |
Ich habe diese Frage noch in keinem Internetforum gestellt.
Hallo!
Ich habe bei dieser Aufgabe überhaupt keine Ahnung wie ich hier heran gehen kann.
Für V = U [mm] \oplus [/mm] W müsste ich doch zeigen, dass V = U+W und dass U [mm] \cap [/mm] W = {0} gilt.
Eigentlich hab ich ja verstanden was ich zeigen soll, aber weil ich irgendwie bis jetzt mit solchen Aufgaben noch nie was gemacht habe fehlt mir so ne Idee wie ich anfangen könnte. genauso bei dem zweiten Aufgabenteil, deswegen könnt ich dringend hier mal hilfe gebrauchen ;)
Danke schonmal
Viele Grüße von Kati
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:18 So 18.12.2005 | | Autor: | piet.t |
Hi Kati,
in der Angabe wurde wohl ein bisschen was verschluckt, ich vermute mal es ist [mm] \alpha: [/mm] V -> V linear mit [mm] \alpha \circ \alpha [/mm] = [mm] \alpha [/mm] ....
Wenn dem so ist, dann könnte man denke ich folgendermaßen vorgehen:
1. Teil: m.E. reicht es zu zeigen, dass U [mm] \cap [/mm] W = {0}, der Rest müsste sich dann aus Dimensionsgründen ergeben. Und um das zu zeigen nehme man ein u [mm] \in [/mm] U [mm] \cap [/mm] W. Dann gibt es ein v [mm] \in [/mm] V mit [mm] \alpha(v) [/mm] = u. Also ist Berechne man u = [mm] \alpha(v) [/mm] = [mm] \alpha(\alpha(v)) [/mm] = [mm] \alpha(u) [/mm] und beachte nun, dass u [mm] \in [/mm] ker [mm] \alpha. [/mm] (die vorletzte Gleichheit gilt ja wegen [mm] \alpha \circ \alpha [/mm] = [mm] \alpha [/mm] ).
2. Teil: Ist u [mm] \in [/mm] U, dann gibt es wieder ein v [mm] \in [/mm] V mit [mm] \alpha(v) [/mm] = u. Dann berechnet sich [mm] \alpha(u) [/mm] so ähnlich wie oben, das kriegst Du jetzt wohl selber hin....
Gruß
Piet
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