endlich erzeugte ab. Gruppe < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:09 Mi 09.11.2011 | | Autor: | pyw |
| Aufgabe | Sei [mm] B\subset [/mm] A Untergruppe der abelschen Gruppe A.
Zeigen Sie:
Sind B und A/B endlich erzeugt, dann ist auch A endlich erzeugt. |
Hallo,
B werde erzeugt von [mm] b_1,\ldots,b_k\in [/mm] B
A/B werde erzeugt von [mm] a_1+B,\ldots,a_m+B\in [/mm] A/B.
Behauptung:
Dann wird A erzeugt von [mm] a_1,\ldots,a_m,b_1,\ldots,b_k.
[/mm]
Beweis:
Angenommen es gibt [mm] a\in [/mm] A, welches sich nicht als
[mm] a=\sum_{i=1}^mr_i*a_i+\sum_{i=1}^ks_i*b_i
[/mm]
mit Koeffizienten in [mm] \IZ [/mm] darstellen lässt. Dann wäre aber a+B nicht als [mm] \sum_{i=1}^mr_i*a_i+B [/mm] darstellbar: Widerspruch.
Ist das so okay?
Gruß,
pyw
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:35 Do 10.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]B\subset[/mm] A Untergruppe der abelschen Gruppe A.
> Zeigen Sie:
>
> Sind B und A/B endlich erzeugt, dann ist auch A endlich
> erzeugt.
> Hallo,
>
> B werde erzeugt von [mm]b_1,\ldots,b_k\in[/mm] B
> A/B werde erzeugt von [mm]a_1+B,\ldots,a_m+B\in[/mm] A/B.
>
> Behauptung:
> Dann wird A erzeugt von [mm]a_1,\ldots,a_m,b_1,\ldots,b_k.[/mm]
>
> Beweis:
> Angenommen es gibt [mm]a\in[/mm] A, welches sich nicht als
>
> [mm]a=\sum_{i=1}^mr_i*a_i+\sum_{i=1}^ks_i*b_i[/mm]
>
> mit Koeffizienten in [mm]\IZ[/mm] darstellen lässt. Dann wäre aber
> a+B nicht als [mm]\sum_{i=1}^mr_i*a_i+B[/mm] darstellbar:
> Widerspruch.
>
> Ist das so okay?
Ja, auch wenn es etwas knapp ist (warum ist es dann nicht von der Form [mm] $\sum_{i=1}^m r_i a_i [/mm] + B$?).
Aber warum verzichtest du hier nicht auf einen Widerspruchsbeweis und machst einen konstruktiven Beweis? Nimm dir $a [mm] \in [/mm] A$; dann kannst du $a + B$ mit Hilfe der [mm] $a_i [/mm] + B$ ausdruecken; und schliesslich hast du $a - [mm] \sum r_i a_i \in [/mm] B$ und kannst das wieder mit den [mm] $b_j$ [/mm] ausdruecken.
LG Felix
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