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Die Frage die ich habe klingt sehr simpel. Warum haben endliche Körper immer Primzahlpotenzordnung? Ich weiß, dass es irgendwas damit zu tun hat, dass man die Körpererweiterung E:K als Vektorraum auffassen kann. Kann es mir jemand genau erklären? Schon mal vielen Dank an alle.
Viele Grüße,
Klaus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:55 Mo 17.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> Die Frage die ich habe klingt sehr simpel. Warum haben
> endliche Körper immer Primzahlpotenzordnung?
[...]
> Kann
> es mir jemand genau erklären?
Also für "ganz genau" solltest du dann doch auch ein Algebra-Buch konsultieren - sonst wird das hier imo sehr lang. Aber ich gebe hier mal in groben Zügen die Vorgehensweise an: zuerst gibt es in jeden Körüer einen kleinsten Unterkörper, der mit derCharakteristik des Körpers zusammenhängt - und die ist das kleisnte natürliche [m]n\ge 1[/m] mit [m]n=0[/m].Bei endlichen Köropern gibt es so eins - und diese n ist dann auch prim (Aufgabe!). Nun kann man also den eigentlichen endlichen Körper E als VR über seinem Primkörper K auffassen - und zwar als endlichen. Damit ist der VR also isomoprh (bzgl. der VR-Struktur) zu einem [m]K^l[/m] - also insgesamt Primzahlpotenz viele Elemente.
SEcki
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