epsilon delta auf intervall < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:37 Di 10.01.2012 | | Autor: | meely |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie zu [mm] \epsilon [/mm] = [mm] 10^{−3} [/mm] ein [mm] \delta [/mm] so, dass die Funktion f(x) = x3 − 3 im Intervall [−5, 5] die [mm] \epsilon-\delta-Defi nition [/mm] der gleichmäßigen Stetigkeit erfüllt. |
Hey :) ich hätte ne kleine Frage zur [mm] \epsilon-\delta-Definition.
[/mm]
Ich habe dieses Bsp mal volgendermaßen begonnen:
[mm] |f(x)-f(a)|=|x^3-3-a^3+3|=|x^3-a^3|=|(x-a)||x^2+ax+a^2|<\epsilon
[/mm]
ich weiß dass [mm] |x-a|<\delta, [/mm] daher muss ich noch [mm] |x^2+ax+a^2| [/mm] abschätzen.
In meinem Skript habe ich ein Bsp gefunden, wo die abschätzung mittels Intervall so vorgenommen wird, dass man die intervallgrenzen einsetzt:
[mm] 75\le|x^2+ax+a^2|\le75 [/mm]
ich habe mir jetzt mal überlegt dass ich [mm] \delta\le\frac{\epsilon}{|x^2+ax+a^2|} [/mm] schreibe. setzte ich nun den Wert ein komme ich auf ein [mm] \delta \le \frac{10^{-3}}{75}
[/mm]
das Ergebnis schaut meiner Meinung nach schon sehr gut aus. Falls es stimmt, würde ich gerne wissen, wie man allgemein Stetigkeit mittels [mm] \epsilon-\delta-Def. [/mm] zeigt. Vielleicht könnt ihr mir das anhand dieses Beispiels mit dem intervall [0,2] erklären (da wüsste ich nicht wie ich abschätze).
Vielleicht könnt ihr mir ja helfen :)
Liebe Grüße, eure Meely
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hallo meely,
also so wie ich das sehe sieht das beispiel richtig gelöst aus.
schön abgeschätzt und der wert für [mm] \delta [/mm] passt auch.
eine allgemeine erklärung für das vorgehen traue ich mir jedoch nicht zu. soweit ich mich erinnere musst du, wie du es schon richtig angewendet hast, deine intervallgrenzen in deinen abzuschätzenden term einsetzten. in deinem fall ja in [mm] |x^2+ax+a^2|.
[/mm]
für [0,2] wäre die abschätzung dann [mm] 0\le|x^2+ax+a^2|\le12
[/mm]
LG Scherzkrapferl
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:42 Di 10.01.2012 | | Autor: | meely |
> hallo meely,
>
> also so wie ich das sehe sieht das beispiel richtig gelöst
> aus.
> schön abgeschätzt und der wert für [mm]\delta[/mm] passt auch.
> eine allgemeine erklärung für das vorgehen traue ich mir
> jedoch nicht zu. soweit ich mich erinnere musst du, wie du
> es schon richtig angewendet hast, deine intervallgrenzen in
> deinen abzuschätzenden term einsetzten. in deinem fall ja
> in [mm]|x^2+ax+a^2|.[/mm]
>
> für [0,2] wäre die abschätzung dann
> [mm]0\le|x^2+ax+a^2|\le12[/mm]
>
> LG Scherzkrapferl
Hallo Scherzkrapferl,
Danke für die Antwort :)
Ich verstehe leider immer noch nicht wie ich dann in dem fall [0,2] den Term [mm] |x^2+ax+a^2| [/mm] abschätzen kann. Er müsste so zusagen irgendwo dazwischen, oder einer dieser Werte sein?! Aber welchen Wert soll ich dann tatsächlich nehmen?
Liebe Grüße Meely
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Do 12.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:21 Mi 11.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie zu [mm]\epsilon[/mm] = [mm]10^{−3}[/mm] ein [mm]\delta[/mm] so, dass
> die Funktion f(x) = x3 − 3 im Intervall [−5, 5] die
> [mm]\epsilon-\delta-Defi nition[/mm] der gleichmäßigen Stetigkeit
> erfüllt.
>
>
> Hey :) ich hätte ne kleine Frage zur
> [mm]\epsilon-\delta-Definition.[/mm]
>
> Ich habe dieses Bsp mal volgendermaßen begonnen:
>
> [mm]|f(x)-f(a)|=|x^3-3-a^3+3|=|x^3-a^3|=|(x-a)||x^2+ax+a^2|<\epsilon[/mm]
>
> ich weiß dass [mm]|x-a|<\delta,[/mm] daher muss ich noch
> [mm]|x^2+ax+a^2|[/mm] abschätzen.
>
> In meinem Skript habe ich ein Bsp gefunden, wo die
> abschätzung mittels Intervall so vorgenommen wird, dass
> man die intervallgrenzen einsetzt:
>
> [mm]75\le|x^2+ax+a^2|\le75[/mm]
Das ist Unsinn. Besser:
[mm] $|x^2+ax+a^2|\le |x|^2+|a|*|x|+|a|^2 \le [/mm] 25+25+25=75 $ für x, a [mm] \in [/mm] [-5,5]
>
> ich habe mir jetzt mal überlegt dass ich
> [mm]\delta\le\frac{\epsilon}{|x^2+ax+a^2|}[/mm] schreibe. setzte ich
> nun den Wert ein komme ich auf ein [mm]\delta \le \frac{10^{-3}}{75}[/mm]
>
> das Ergebnis schaut meiner Meinung nach schon sehr gut aus.
> Falls es stimmt, würde ich gerne wissen, wie man allgemein
> Stetigkeit mittels [mm]\epsilon-\delta-Def.[/mm] zeigt. Vielleicht
> könnt ihr mir das anhand dieses Beispiels mit dem
> intervall [0,2] erklären (da wüsste ich nicht wie ich
> abschätze).
[mm] $|x^2+ax+a^2|\le |x|^2+|a|*|x|+|a|^2 \le [/mm] 4+4+4=12 $ für x, a [mm] \in [/mm] [-0,2]
FRED
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> Vielleicht könnt ihr mir ja helfen :)
>
>
> Liebe Grüße, eure Meely
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