erklärung zu integrieren < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:54 So 05.10.2008 | | Autor: | itil |
Hallo!
Ich bin echt am verzweifeln mit dem Integralrechnen, habt ihr eine gute Erklärung oder was ähnliches wie ich das Integrieren lernen kann?
Die Formel ist zwar ganz lieb und schön, allerdings bis ich soweit bin.. ich komm ja nichtmal zum Formelanwenden..
http://de.wikipedia.org/wiki/Integralrechnung
hilft mir auch nicht wieter :(
ich hoffe ihr könnte mir gute erklärungen dazu geben.. wäre super!
danke schon mal!
ps.:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo!
Sicher weißt du, daß die Integralrechnung dazu dient, die Fläche unter einem Graphen zu berechnen.
Und sicher weißt du auch, daß man dazu anfangs so Rechtecke zwischen Graph und x-Achse gezeichnet hat, deren Gesamtfläche berechnet, und das als Näherung für die Fläche angibt.
Diese Rechtecke haben eine Höhe $f(x)$ und eine Breite [mm] $\Delta [/mm] x$. So eine Summe über alle Rechtecke kann man dann auch so schreiben:
[mm] $A=\sum_{i=1}^nf(i*\Delta x)*\Delta [/mm] x$
Dieses [mm] i*\Delta [/mm] x ist dabei die Position einer der senkrechten Seiten eines Rechtecks, und das ist sowas wie x.
[mm] $A=\sum_{i=1}^nf(x)*\Delta [/mm] x$
(ich unterschlage jetzt mal, daß über die Breite [mm] $\Delta [/mm] x$ und das $n_$ sowas wie die Breite der Gesamtfläche gegeben ist...)
Jetzt machen wir die [mm] $\Delta [/mm] x$ immer kleiner, wodurch immer mehr Summenterme entstehen. Statt [mm] $\Delta [/mm] x$ schreiben wir $dx_$ und das Summenzeichen tauschen wir auch aus, gegen ein stilisiertes S, das Integralzeichen:
[mm] $A=\int f(x)\,dx$
[/mm]
Auch hier muß irgendwie die Breite der gesuchten Gesamtfläche rein, am besten steckt man das mit zwei Werten a und b für x fest:
[mm] $A=\int_a^b f(x)\,dx$
[/mm]
soviel dazu, wie man auf die Schreibweise kommt.
Nun zur Berechnung. Genauso, wie du sicher bereits gelernt hast, daß man mit gewissen Regeln eine Funktion f ableitet und daduch eine neue Funktion f' bekommt, mußt du hier die Funktion f integrieren, und bekommst auch hier über die zugehörigen Rechenregeln eine neue Funktion F, die "Stammfunktion" heraus.
Während dir die Funktion f' sagt, wie die Funktion f steigt und fällt, so sagt dir die Funktion F, wie die Fläche unter der Funktion f aussieht.
Wie beim Ableiten gibts fürs Integrieren Tabellen, die dir die Stammfunktionen F für einige grundlegende Funktionen liefern.
Aber es gibt auch erste Rechenregeln:
Ableiten: [mm] (x^n)'=nx^{n-1}
[/mm]
Integrieren ist das Umgekehrte: [mm] $\int nx^{n-1}dx=x^n$ [/mm] oder auch [mm] $\int x^n=\frac{1}{n+1}x^{n+1}$ [/mm] (Übe das an ein paar Beispielen, die du integrierst und wieder ableitest!)
So, wir sind von der Fläche abgekommen. Wir haben da diese Grenzen a und b, und man rechnet einfach:
[mm] $A=\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$ [/mm] , wobei man vorher eben bestimmt, wie so ein F(x) überhaupt aussieht.
Beispiel
[mm] \int_1^2x^2\,dx
[/mm]
[mm] f(x)=x^2
[/mm]
Mit der genannten Regel ist nun [mm] F(x)=\frac{1}{2+1}x^{2+1}=\frac{1}{3}x^3
[/mm]
[mm] \int_1^2x^2\,dx=\left[\frac{1}{3}x^3\right]_1^2 [/mm] = [mm] \frac{1}{3}2^3-\frac{1}{3}1^3=\frac{7}{3}
[/mm]
Hier siehst du noch diesen Term in den eckigen Klammern. Diese Schreibweise benutzt man, um quasi in der Rechnung die Formel für F(x) zu zeigen, und gleichzeitig anzudeuten, daß da noch die Werte a und b eingesetzt werden müssen.
Klar so weit? Ansonsten frag nochmal, aber gib auch GENAU an, wo es hakt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 So 23.11.2008 | | Autor: | itil |
Hallo!
herzlichsten Dank, der Erste Teil Deiner Erklärung war echt super! Ich verstehe auf alle fälle schon mal mehr.
Ich denke es hakt beim Grundverständnis, ich weis zwar jetzt wozu man es verwendet kann und wie es theretisch fuktioniert, allerdings hakts bei den Werten.
Du schriebst n*x
x = die Summe aller Rechtecke?
was is n? die Anzahl aller Rechtecke?
Was auch noch wichtig wäre bitte:
Bei deiner letzen Rechnugn .. wieso fällt x plötzlich weg und es steht 2 da?
Woher wissen wir das x 2 ist?
Wenn du bitte Formeln schreibst, könntest du sie "wörtlich" darunter schreiben. Also die Summe aller Rechtecke mal der f unktion da ... ja wieso eigentlich?
*ich verzweifle noch .. und im Juni hab ich Matura :'(*
Aber auf alle Fälle herzlichsten Dank schon mal für die erste Erklärugn hat mir schon viel geholfen.
Kurz wobei es hakt:
Was was ist (die Werte)
Wie man auf was kommt
-> wie kann man die ganzen Werte aus den Angaben lesen wenn man nu reine funktion gegeben hat...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 So 23.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Noch ein Versuch:
du musst den begriff, was integrieren bedeutet einerseits und das ausrechnen von Integralen andererseits unterscheiden.
1. Anschaulich ist wenigstens fuer positive funktionen, dass das Integral den Flaecheninhalt zwischen einer Kurve und der x- achse berechnet.
Da man eigentlich faecheninhalte nur von einfachen figuren wie rechtecken bestimmen kann, teilt man die "krumme flaeche unter der Kurve in lauter schmale rechtecke ein. da sie krumm ist geht das nicht genau. deshalb macht man die Rechtecke immer schmaler. man nimmt nicht nur 5 oder 10 oder 100 sondern n rechtecke, wobei man n immer groesser macht. dann wird man immer genauer den flaecheninhalt unter der Kurve haben.
soweit die Idee.
Jetzt waer das ja schrecklich, wenn man immer tausende von rechtecken ausrechnen und addieren muesste!
da haben aber die mathematiker was grossartiges rausgefunden: wenn man die Flaeche unter etwa [mm] f(x)=x^2 [/mm] finden will, muss man nur die funktion kennen, deren Ableitung f(x) ist. Und wenn du halbwegs gut ableiten kannst weisst du, dass [mm] (x^3/3)'=x^2 [/mm] ist.
Wenn du also den flaecheninhalt zwischen 0 und 7 unter der Kurve [mm] f(x)-x^2 [/mm] wissen willst musst du nur in [mm] x^3/3 [/mm]
7 einsetzen und davon den Wert bei 0 abziehen. wenn du den von 3 bis 5 wissen willst musst du nur [mm] 5^3/3-3^3/3 [/mm] rechnen.
(natuerlich kann man auch beweisen, dass man durch dieses "rueckwaerts ableiten, manche nennen es auch "aufleiten" den flaecheninhalt kriegt.
Aber bei deinen Schwierigkeiten willst du vielleicht erstmal den beweis gar nicht wissen?![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
also zu deiner ersten Frage:
[mm] \integral{x dx}=x^2/2+ [/mm] C denn [mm] (x^2/2+C)'=x
[/mm]
Die flaeche unter der Geraden f(x)=x zwischen 3 und 5 ist dann:
[mm] \integral_{3}^{5}{x dx} =5^2/2-3^2/2=16/3
[/mm]
Da nicht alle leute das Ableiten "rueckwaerts so gut koennen gibts auch noch ne Regel:
[mm] \integral{x^n dx}=\bruch{1}{n+1}*x^{n+1} [/mm] +C
ausserdem gilt, dass wenn man ne fkt mit ner Zahl malnimmt, das Integral mit derselben zahl mult wird. also
[mm] \integral_{a}^{b}{c*x^n dx}=c*\integral_{a}^{b}{x^n dx}
[/mm]
Und wenn man ne summe integriert, integriert man jeden Summand einzeln. Beispiel
[mm] \integral_{a}^{b}{4*x^3+3*x^2 dx}=4*\integral_{a}^{b}{x^3 dx} [/mm] + [mm] 3*\integral_{a}^{b}{x^2 dx}
[/mm]
So hier erstmal Schluss. Versuch das zu verdauen mindestens 3 mal langsam lesen. und dann versuch mal die flaeche unter [mm] f(x)=x^2+2x [/mm] zwischen x=1 und x=3 rauszukriegen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Mo 24.11.2008 | | Autor: | itil |
Hallo!
Ok, die Erklärung half mir auch wieder ein Stückchen weiter, allerdings meint der Taschenrechner was anderers als ich, wobei die Wahrscheindlichkeit das der Taschenrechner falsch liegt nur wenig wahrscheindlicher ist nehme ich dennoch an ich habe richtig eingetippt und der Trechner hat Recht.
f(x) = x² + 2x 3|1
= x³/x + x/1 3|1 3³/3 - 1³/3 = 27/3 - 1/3 = 8
Taschenrechner meint: 16,666667
Frage; ..."7 einsetzen und davon den Wert bei 0 abziehen."
= den Wert bei x = 0 quasi nach oben zu y also die höhe des "rechteckts" ?
Ich hoffe ihr verzweifelt noch nicht mit mir :(
ich habe mir beide Artikel noch einige male durchgelesen aber dennoch falsch.. ich hoffe mir geht der Knopf auf wenn ihr mir diese Rechnung auflöst.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 Mo 24.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast nicht gut aufgepasst. Also lies noch mal genau!
[mm] x^3 [/mm] integrieren, sieh noch mal meine Regel an und wend sie genau an. 2x integrieren hast du auch falsch.
Wenn du das allgemeine Integral hast setzest du erst x=3 ein und ziehst davon den Wert bei x=1 ab.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 Mo 24.11.2008 | | Autor: | itil |
Versuch 2:
f(x) = x²+2x
= (3³/3 - 1³/3 )+ | 2x rückwerts abgeleitet...?
[mm] x^n+1 [/mm] / n+1 +C
[mm] (3^2 [/mm] / 2 + C) - [mm] (1^2/2+C)
[/mm]
also:
f(x) = x²+2x
= (3³/3 - 1³/3 )+ [mm] (3^2 [/mm] / 2 + C) - [mm] (1^2/2+C)
[/mm]
=27/3 - 1/3 + 9/2 - 1/2
= 12,66667
besser?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:07 Mo 24.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dass du gleich Zahlen hinschreibst ist schlecht also
aus [mm] x^3 [/mm] ergibt sich [mm] \bruch{1}{4}* x^4 [/mm]
aus x ergibt sich [mm] \bruch{1}{2}x^2 [/mm] : aus 2x ergibt sich damit [mm] 2*\bruch{1}{2}x^2=x^2
[/mm]
dann schreibst du das Ergebnis hin. die integralfkt zu f(x) heisst meist [mm] F(x)=\bruch{1}{4}* x^4 +x^2 [/mm] +C
jetzt kommt unbedingt die Probe: F'(x) bilden, das muss f(x) geben ! Wenn man das seeehhhr oft gemacht hat kann man das mit dem Integrieren aber solange man noch am ueben ist gehoert die Probe dazu.
Dann erst die Erte einsetzen.
Jetzt die naechste Funktion mit probe machen.
Gruss leduart
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