erstes Integral < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:13 Fr 24.08.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
zunächst einmal schreibst du das System um in ein zweidimensionales System 1. Ordnung. So wie ichs bei deinem letzten post gemacht habe (leider hat dir ja keiner mehr geanwortet).
Dann kannst du das umformulieren in die Form (*):
[mm] x_{10}'= f_1(x_{10},x_{11})
[/mm]
[mm] x_{11}'=f_2(x_{10},x_{11})
[/mm]
Für ein erstes Integral [mm] E:\IR^2 \to \IR^2 [/mm] gilt dann [mm] \frac{dE(x_{10},x_{11})}{dx_{10}}*f_1(x_{10},x_{11}) + \frac{dE(x_{10},x_{11})}{dx_{11}}*f_2(x_{10},x_{11}) = 0 [/mm]
Du musst also E so bestimmen, dass die obige Bedingung erfüllt ist.
Grüße
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:46 Fr 24.08.2012 | | Autor: | paula_88 |
Hallo teo,
vielen Dank für die schnelle Antwort, ein paar Fragen habe ich allerdings noch 
> zunächst einmal schreibst du das System um in ein
> zweidimensionales System 1. Ordnung. So wie ichs bei deinem
> letzten post gemacht habe (leider hat dir ja keiner mehr
> geanwortet).
>
> Dann kannst du das umformulieren in die Form (*):
>
> [mm]x_{10}'= f_1(x_{10},x_{11})[/mm]
> [mm]x_{11}'=f_2(x_{10},x_{11})[/mm]
Wenn ich das mal bezüglich meiner Aufgabenstellung umformuliere:
[mm] x_{10}'= f_1(x_{10},x_{11})=x'
[/mm]
[mm] x_{11}'=f_2(x_{10},x_{11})=x''=-sin(x)
[/mm]
>
> Für ein erstes Integral [mm]E:\IR^2 \to \IR^2[/mm] gilt dann
> [mm]\frac{dE(x_{10},x_{11})}{dx_{10}}*f_1(x_{10},x_{11}) + \frac{dE(x_{10},x_{11})}{dx_{11}}*f_2(x_{10},x_{11}) = 0[/mm]
Frage: Wie genau schlussfolgerst du diese Gleichung? Das sehe ich leider noch nicht genau :-S
Wende ich diese an, komme ich auf Folgendes:
[mm] \Rightarrow \bruch{dh}{dx}x'-sin(x)\bruch{dh}{dx'}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{dh}{dx}x'=sin(x)\bruch{dh}{dx'}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{dx}x'=sin(x)\bruch{1}{dx'}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \integral{x' dx'} [/mm] = [mm] \integral{sin(x) dx}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{(x')^{2}}{2}=cos(x)
[/mm]
Wenn ich jetzt weiter umstellen würde, würde ich die DGL lösen, ich möchte ja aber nur ein erstes Integral, wie muss ich also weiter vorgehen?
Vielen Dank für die Geduld, Paula
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 Fr 24.08.2012 | | Autor: | teo |
> Hallo teo,
> vielen Dank für die schnelle Antwort, ein paar Fragen
> habe ich allerdings noch
>
> > zunächst einmal schreibst du das System um in ein
> > zweidimensionales System 1. Ordnung. So wie ichs bei deinem
> > letzten post gemacht habe (leider hat dir ja keiner mehr
> > geanwortet).
> >
> > Dann kannst du das umformulieren in die Form (*):
> >
> > [mm]x_{10}'= f_1(x_{10},x_{11})[/mm]
> >
> [mm]x_{11}'=f_2(x_{10},x_{11})[/mm]
>
> Wenn ich das mal bezüglich meiner Aufgabenstellung
> umformuliere:
> [mm]x_{10}'= f_1(x_{10},x_{11})=x'[/mm]
>
> [mm]x_{11}'=f_2(x_{10},x_{11})=x''=-sin(x)[/mm]
> >
> > Für ein erstes Integral [mm]E:\IR^2 \to \IR^2[/mm] gilt dann
> > [mm]\frac{dE(x_{10},x_{11})}{dx_{10}}*f_1(x_{10},x_{11}) + \frac{dE(x_{10},x_{11})}{dx_{11}}*f_2(x_{10},x_{11}) = 0[/mm]
>
> Frage: Wie genau schlussfolgerst du diese Gleichung? Das
> sehe ich leider noch nicht genau :-S
>
> Wende ich diese an, komme ich auf Folgendes:
> [mm]\Rightarrow \bruch{dh}{dx}x'-sin(x)\bruch{dh}{dx'}=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{dh}{dx}x'=sin(x)\bruch{dh}{dx'}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{dx}x'=sin(x)\bruch{1}{dx'}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \integral{x' dx'}[/mm] = [mm]\integral{sin(x) dx}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{(x')^{2}}{2}=cos(x)[/mm]
Das ist viel zu umständlich!!
Du kannst das doch aus dieser Gleichung direkt ablesen:
[mm]\frac{dE(x_{10},x_{11})}{dx_{10}}*f_1(x_{10},x_{11}) + \frac{dE(x_{10},x_{11})}{dx_{11}}*f_2(x_{10},x_{11}) = 0[/mm]
Du hast links schon [mm] x_{11} [/mm] stehen und rechts (vom +) [mm] -sin(x_{10}) [/mm] also sieht man doch recht schnell, dass E nach [mm] x_{10} [/mm] abgeleitet sin(x_10) und E nach [mm] x_{11} [/mm] abgeleitet [mm] x_{11} [/mm] sein muss.
Folglich bekommst du sofort [mm] E(x_{10},x_{11}) [/mm] = [mm] cos(x_{10})-\frac{1}{2}x_{11}^2.
[/mm]
So nun hast du das erste Integral gefunden. Jetzt musst du noch beweisen, dass es wirklich eins ist.
Hierzu ist erst mal zu zeigen, dass E nicht konstant ist (offensichtlich). und nun, dass für die die Lösungen [mm] x_{10}(t),x_{11}(t) [/mm] des DGL-Systems die Funktion E längs der Lösungskurven kostant ist. Das zeigst du indem du
[mm] \frac{dE(x_{10},x_{x_11})}{dt} [/mm] = 0 zeigst. Mach das mal, dann siehst du wie man auf obigen Ansatz kommt.
Grüße
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