"erweiterte" Dirichlet-Fkt. < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ist die Funktion [mm] g:[0,1]\times[0,1]\subset\IR^2\to\IR, [/mm] gegeben durch
[mm] g(x,y)=\begin{cases}1&\text{, falls } x\in\IQ\\0&\text{, sonst}\end{cases}
[/mm]
Lebesgue-integrierbar? |
Guten Morgen,
ich weiß bereits, dass die Dirichlet-Funktion L-integrierbar ist, denn [mm] \IQ [/mm] bildet eine Lebesgue'sche Nullmenge. Das Lebesgue-Integral hat den Wert 0.
Bei der Funktion g(x,y) wird jedoch keine Aussage über y getroffen, was mich durchaus irritiert. Ansonsten unterscheidet sich die Funktion ja kaum.
Ich habe mir die Funktion einmal bildlich vorgestellt. Es ist schwer, dies hier zu beschreiben, aber ich glaube es entstehen quasi immer Geraden, die entweder in der x-y-Ebene liegen, oder parallel zu der Ebene bei z=1 liegen. Geraden bilden ja auch eine Lebesgue'sche Nullmenge, weshalb ich "spontan" sagen würde, dass auch diese Funktion L-integrierbar ist und der Wert ebenfalls 0 ist.
Ich habe leider keine so richtigen Ansätze zu der Aufgabe. Vielleicht kann mir jemand ein Steinchen zuwerfen? Das wäre super.
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:21 Mo 31.12.2012 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] \IQ [/mm] = [mm] \{r_1,r_2,r_3, ...\}, A_n=\{(r_n,y): y \in \IR\} [/mm] und [mm] A=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n
[/mm]
Dann sind die [mm] A_n [/mm] L-Nullmengen und A disjunkte Vereinigung der [mm] A_n.
[/mm]
A ist also messbar
Weiter ist [mm] g=1_A
[/mm]
Damit ist g messbar und [mm] \integral_{}^{}{g(x) dx}= \lambda(A)=\summe_{n=1}^{\infty}\lambda(A_n)=0 [/mm] < [mm] \infty.
[/mm]
Dabei ist [mm] \lambda [/mm] das L_Maß auf [mm] \IR^2
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:34 Mo 31.12.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo Fred,
> Sei [mm]\IQ[/mm] = [mm]\{r_1,r_2,r_3, ...\}, A_n=\{(r_n,y): y \in \IR\}[/mm]
> und [mm]A=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n[/mm]
>
> Dann sind die [mm]A_n[/mm] L-Nullmengen und A disjunkte Vereinigung
> der [mm]A_n.[/mm]
Ist nicht die Vereinigung von L-Nullmengen wieder eine L-Nullmenge?
>
> A ist also messbar
>
> Weiter ist [mm]g=1_A[/mm]
>
> Damit ist g messbar und [mm]\integral_{}^{}{g(x) dx}= \lambda(A)=\summe_{n=1}^{\infty}\lambda(A_n)=0[/mm]
> < [mm]\infty.[/mm]
>
> Dabei ist [mm]\lambda[/mm] das L_Maß auf [mm]\IR^2[/mm]
>
> FRED
Das ist ja wirklich wunderbar und eigentlich gar nicht so schwer. Da ärgere ich mich immer, wenn ich das selbst nicht so verfassen und mir überlegen kann.
Maß- und Integrationstheorie macht mir ein bisschen Kummer. Gut, dass es hier kompetente Hilfe gibt.
Daher an dich auch noch einmal ein persönliches Dankeschön für die Hilfe im Jahr 2012!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:15 Mo 31.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > Sei [mm]\IQ[/mm] = [mm]\{r_1,r_2,r_3, ...\}, A_n=\{(r_n,y): y \in \IR\}[/mm]
> > und [mm]A=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n[/mm]
> >
> > Dann sind die [mm]A_n[/mm] L-Nullmengen und A disjunkte Vereinigung
> > der [mm]A_n.[/mm]
> Ist nicht die Vereinigung von L-Nullmengen wieder eine
> L-Nullmenge?
> >
> > A ist also messbar
> >
> > Weiter ist [mm]g=1_A[/mm]
> >
> > Damit ist g messbar und [mm]\integral_{}^{}{g(x) dx}= \lambda(A)=\summe_{n=1}^{\infty}\lambda(A_n)=0[/mm]
> > < [mm]\infty.[/mm]
> >
> > Dabei ist [mm]\lambda[/mm] das L_Maß auf [mm]\IR^2[/mm]
> >
> > FRED
>
> Das ist ja wirklich wunderbar und eigentlich gar nicht so
> schwer. Da ärgere ich mich immer, wenn ich das selbst
> nicht so verfassen und mir überlegen kann.
Das kommt noch.
>
> Maß- und Integrationstheorie macht mir ein bisschen
> Kummer. Gut, dass es hier kompetente Hilfe gibt.
> Daher an dich auch noch einmal ein persönliches
> Dankeschön für die Hilfe im Jahr 2012!
Herzlichen Dank.
Noch eine Bemerkung:
Damit die obigen Mengen [mm] A_n [/mm] paarweise disjunkt sind, sollte man in
$ [mm] \IQ [/mm] $ = $ [mm] \{r_1,r_2,r_3, ...\}$
[/mm]
noch fordern : [mm] r_i \ne r_j [/mm] für i [mm] \ne [/mm] j.
Das hatte ich vergessen.
Ichn wünsche Dir (wie man bei uns grammatikalisch völlig falsch sagt):
"ein guter Rutsch"
(Karlsruher Akkusativ)
Gruß FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:25 Mo 31.12.2012 | | Autor: | Richie1401 |
> > Hallo Fred,
> >
> > > Sei [mm]\IQ[/mm] = [mm]\{r_1,r_2,r_3, ...\}, A_n=\{(r_n,y): y \in \IR\}[/mm]
> > > und [mm]A=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n[/mm]
> > >
> > > Dann sind die [mm]A_n[/mm] L-Nullmengen und A disjunkte Vereinigung
> > > der [mm]A_n.[/mm]
> > Ist nicht die Vereinigung von L-Nullmengen wieder eine
> > L-Nullmenge?
> > >
> > > A ist also messbar
> > >
> > > Weiter ist [mm]g=1_A[/mm]
> > >
> > > Damit ist g messbar und [mm]\integral_{}^{}{g(x) dx}= \lambda(A)=\summe_{n=1}^{\infty}\lambda(A_n)=0[/mm]
> > > < [mm]\infty.[/mm]
> > >
> > > Dabei ist [mm]\lambda[/mm] das L_Maß auf [mm]\IR^2[/mm]
> > >
> > > FRED
> >
> > Das ist ja wirklich wunderbar und eigentlich gar nicht so
> > schwer. Da ärgere ich mich immer, wenn ich das selbst
> > nicht so verfassen und mir überlegen kann.
>
>
> Das kommt noch.
Ich freue mich darauf!
>
>
> >
> > Maß- und Integrationstheorie macht mir ein bisschen
> > Kummer. Gut, dass es hier kompetente Hilfe gibt.
> > Daher an dich auch noch einmal ein persönliches
> > Dankeschön für die Hilfe im Jahr 2012!
>
> Herzlichen Dank.
>
> Noch eine Bemerkung:
>
> Damit die obigen Mengen [mm]A_n[/mm] paarweise disjunkt sind, sollte
> man in
>
> [mm]\IQ[/mm] = [mm]\{r_1,r_2,r_3, ...\}[/mm]
>
> noch fordern : [mm]r_i \ne r_j[/mm] für i [mm]\ne[/mm] j.
Ich habe dies dann später gefordert.
Habe auf meinem Übungszettel dann geschrieben, dass [mm] A_i\cap{A_j}=\emptyset [/mm] für [mm] i\not=j [/mm] sein soll. Das ist ja aber schon die Mündung des Flusses. Die Quelle dieser Forderung liegt in der Tat bei den [mm] r_n.
[/mm]
Danke für den Nachtrag!
>
> Das hatte ich vergessen.
>
>
> Ichn wünsche Dir (wie man bei uns grammatikalisch völlig
> falsch sagt):
>
> "ein guter Rutsch"
Danke!
>
> (Karlsruher Akkusativ)
"Isch woansch dieern gudden rudsch."
- Wie man bei uns in Sachsen zu sagen pflegt -
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> Gruß FRED
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