erzeugendensystem < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:25 Fr 10.02.2006 | | Autor: | katinki |
| Aufgabe | Habe eine Menge M = (1,2,3) ; (2,3,4) ; (1,3,5) ; (1,5,3) und soll errechnen ob M ein Erzeugendensystem darstellt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Ich weiss nicht genau wie ich anfangen soll. Ich habe 2 möglichkeiten und bin nicht sicher , ob beide gehen:
1: (a,b,c) = k*(1,2,3)+l*(2,3,4)+m*(1,3,5)+n*(1,5,3)
Ist allerding eine endlos rechnung für die ich in der Klausur keinerlei Zeit habe! Und ist es nur ein E-system wenn ees linear unabhängig ist?
2: Durch Gaußsches Eliminationsverfahren
x1 x2 x3
1 2 1 1
2 3 3 5
3 4 5 3
Was von beiden ist richtig, bzw. sind überhaupt beide möglich?
Und wann ist es nun ein Erzeugendensystem?
Bitte antwortet schnell, denn ich schreibe MORGEN UM 14.00 die Klausur!
DANKE !!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 Fr 10.02.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo und [willkomenmr],
du musst dir nicht so viel Stress machen - du hattest beides Mal recht und es gibt auch eine einfache Möglichkeit:
> Habe eine Menge M = (1,2,3) ; (2,3,4) ; (1,3,5) ; (1,5,3)
> und soll errechnen ob M ein Erzeugendensystem darstellt.
Du meinst hier doch : erzeugendensystem von [mm] $\IR^3$ [/mm] , richtig?
> Ich weiss nicht genau wie ich anfangen soll. Ich habe 2
> möglichkeiten und bin nicht sicher , ob beide gehen:
>
> 1: (a,b,c) = k*(1,2,3)+l*(2,3,4)+m*(1,3,5)+n*(1,5,3)
> Ist allerding eine endlos rechnung für die ich in der
> Klausur keinerlei Zeit habe! Und ist es nur ein E-system
> wenn ees linear unabhängig ist?
im [mm] $\IR^3$ [/mm] sind 4 Vektoren niemals linear unabhängig !
Es wäre ein Erzeugendensystem, wenn obige Gleichung überhaupt eine Lösung besitzt für beliebige a,b und c
(denn dann hast du ja eine Möglichkeit der Linearkombination gefunden)
> 2: Durch Gaußsches Eliminationsverfahren
> x1 x2 x3
> 1 2 1 1
> 2 3 3 5
> 3 4 5 3
Das ist ja dieselbe Idee nur in Matrixschreibweise.
Du hast hier also eine 3x4 Matrix.
Wenn du Gauß angewendet hast, siehst du ja den Rang der Matrix.
Der Rang gibt dir die Anzhal linear unabhängiger Spalten (und Zeilen) an, also ist der Rang gleich der Dimension des Erzeugnisses der vier Vektoren.
Wenn der Rang also 3 ist, dann ist dies ein Erzeugnis des [mm] $\IR^3$, [/mm] denn jede Basis hat gleiche Länge...
> Bitte antwortet schnell, denn ich schreibe MORGEN UM 14.00
> die Klausur!
Ich denke schon, dass du gut vorbereitet bist !
Und bedenke : Teilpunkte sammeln hat schon die meisten schlechten Klausuren noch gerettet - soll heißen : Hättest du dies hier so in eine klausur geschrieben und den Gauß noch zu Ende gerechnet, dann hättest du 80% der Punkte bekommen (nur'ne Schätzung) , wenn du dies bei jeder Aufgabe machst, dann hast du keinerlei Probleme...
Stell aber ruhig noch ein paar Fragen, wenn du dir unsicher bist - hier wird normaler Weise recht schnell geantwortet.
(Aber achte auf das richtige Forum)
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Fr 10.02.2006 | | Autor: | katinki |
Huj. danke für die schnelle Antwort. Also scheint es gar nicht so kompliziert. Im grunde ist es also egal mit welcher schreibweise ich es mache, richtig?Nur wann ist es ein erzeugendensystem? Wenn ich jetzt bspw, rausbekomme dass sie abhängig sind, muss ich dann einen raus nehmen und die restlichen drei vektoren überprüfen, ob sie linear unabhängig sind?
Heisst das, eine menge ist dann ein erz.sys., wenn es zum B in R³ 3 aufspannende linear unabhängige Vektoren hat? Oder ehr nicht? Und wie kommt der rand, den du erwähnt hast mit ins spiel???
Gruss katinki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:51 Fr 10.02.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
es ist ein Erzeugendensystem des [mm] $\IR^3$, [/mm] wenn sich jeder Vektor daraus als Linearkombination der vier Vektoren darstellen lässt.
Dies bedeutet in deinem ersten Fall - dass du eine beliebige Lösung finden musst, denn diese zeigt ja gerade, wie die Linearkombination auszusehen hat.
und in deinem zweiten Fall, wenn der Rang der 3x4 Matrix gleich 3 ist.
(du also in deinen vier Vektoren drei linear unabhängige hast)
Der Rang sagt nicht, welcher Vektor zu streichen wäre oder sowas, aber das suchst du ja auch nicht - du willst ja keine Basis ermitteln - du willst einfach nur zum Schluss wissen, ob es ein Erzeugendensystem war - also musst du überprüfen, ob der Rang voll ist - fertig.
> Wenn ich jetzt bspw, rausbekomme
> dass sie abhängig sind, muss ich dann einen raus nehmen und
> die restlichen drei vektoren überprüfen, ob sie linear
> unabhängig sind?
Sie sind auf jedenfall linear abhängig, denn im [mm] $\IR^3$ [/mm] können nur höchstens 3 Vektoren linear unabhängig sein.
(wenn du mehr hättest, hättest du ja eine größere Basis gefunden)
Und nein : du musst nur den Rang der Matrix bestimmen, d.h. die Matrix auf komplette Zeilenstufenform bringen und die Anzahl der Nicht-Null-Zeilen zählen - dann hast du die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren...
> Heisst das, eine menge ist dann ein erz.sys., wenn es zum
> B in R³ 3 aufspannende linear unabhängige Vektoren hat?
Genau - wenn du drei linear unabhängige Vektoren im [mm] $\IR^3$ [/mm] hast (also den Rang 3 hast), dann spannen sie ihn schon komplett auf, das heißt sie bilden ein (minimales) Erzeugendensystem.
(wenn dann noch mehr Vektoren dabei sind ist es egal, denn der Raum wurde ja schon von den drei unabhängigen aufgespannt - den Rest könnte man streichen - muss man hier aber nicht)
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:59 Fr 10.02.2006 | | Autor: | katinki |
vielen dank, glaub ich habs jetzt!
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