erzeugnis Hauptideal Polynom R < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:50 Do 18.07.2013 | | Autor: | SaskiaCl |
| Aufgabe | [mm] f=t^{4}-t^{3}-t+1, [/mm] und [mm] g=t^{3}+t+1 [/mm] in Z/3Z
a) Bestimmen sie einen Erzeuger des Haupideals I=<f,g>
b) Ist [mm] h=t^{10025}+2t^{17}-2t^{2}+1 [/mm] in I enthalten |
Hallo,
die erste Aufgabe konnte ich bereits lösen indem ich mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus den ggT(f,g)=I=(t-1) ermittelt habe.
Normalerweise würde ich nun einfach (mit Polynom Division) über prüfen ob h ein vielfaches von I ist.
Dies ist hier aber wohl nicht gefragt, könnte mir jemand einen Tipp geben wie ich hier vorgehen sollte.
Danke
Saskia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:12 Do 18.07.2013 | | Autor: | hippias |
> [mm]f=t^{4}-t^{3}-t+1,[/mm] und [mm]g=t^{3}+t+1[/mm] in Z/3Z
> a) Bestimmen sie einen Erzeuger des Haupideals I=<f,g>
> b) Ist [mm]h=t^{10025}+2t^{17}-2t^{2}+1[/mm] in I enthalten
> Hallo,
> die erste Aufgabe konnte ich bereits lösen indem ich mit
> Hilfe des Euklidischen Algorithmus den ggT(f,g)=I=(t-1)
> ermittelt habe.
Achtung: $I$ ist ein Ideal und $ggT(f,g)$ ein (bis auf Assoziiertheit eindeutig bestimmtes) Polynom. $ggt(f,g)= I$ ist also nicht richtig, aber $I$ wird von $ggT(f,g)$ erzeugt.
> Normalerweise würde ich nun einfach (mit Polynom
> Division) über prüfen ob h ein vielfaches von I ist.
Doch, das kannst Du genauso machen. Es wuerde aber auch genuegen zu ueberpruefen, ob $1$ eine Nullstelle von $h$ ist.
>
> Dies ist hier aber wohl nicht gefragt, könnte mir jemand
> einen Tipp geben wie ich hier vorgehen sollte.
>
> Danke
> Saskia
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Do 18.07.2013 | | Autor: | SaskiaCl |
> > Normalerweise würde ich nun einfach (mit Polynom
> > Division) über prüfen ob h ein vielfaches von I ist.
> Doch, das kannst Du genauso machen. Es wuerde aber auch
> genuegen zu ueberpruefen, ob [mm]1[/mm] eine Nullstelle von [mm]h[/mm] ist.
Wahrscheinlich übersehe ich etwas aber das ist eine Riesen PD. Wie kann ich am effektivsten vorgehen?
Ich vermute das ich es über die Eigenschaft der mod 3 Rechnung lösen kann, aber etwas explizites sehe ich leider nicht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 Do 18.07.2013 | | Autor: | hippias |
Wie bereits erwaehnt genuegt es zu pruefen, ob $1$ eine Nullstelle von $h$ ist, denn es gilt ja der schoene Satz: $h(1)= [mm] 0\iff [/mm] (t-1)|h$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Do 18.07.2013 | | Autor: | SaskiaCl |
H(I)=(t-1)^10025 +2(t-1)^17 [mm] -2(t-1)^2 =(\summe_{k=o}^{10025}\vektor{10025 \\ k}(-1)^kt^{n-k} [/mm] +)2*( [mm] \summe_{k=o}^{17}\vektor{17 \\ k}(-1)^kt^{n-k}) -2t^2 [/mm] +t-2 = ...
das wird wohl nicht zum Ziel führen, was übersehe ich?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:31 Fr 19.07.2013 | | Autor: | hippias |
> H(I)=(t-1)^10025 +2(t-1)^17 [mm]-2(t-1)^2 =(\summe_{k=o}^{10025}\vektor{10025 \\ k}(-1)^kt^{n-k}[/mm]
> +)2*( [mm]\summe_{k=o}^{17}\vektor{17 \\ k}(-1)^kt^{n-k}) -2t^2[/mm]
> +t-2 = ...
>
> das wird wohl nicht zum Ziel führen, was übersehe ich?
Doch, ist auch ein moeglicher Ansatz, nur es stimmt ja nicht, dass $h= (t-1)^10025 +2(t-1)^17 [mm] -2(t-1)^2$ [/mm] ist. Du muesstest dann eher den Ansatz $h= (t-1)^10025 +a(t-1)^17 [mm] +b(t-1)^2+c$, [/mm] dann ausmultiplizieren und dann Koeffizientenvergleich machen. Schoener als Polynomdivision wird das aber auch nicht.
Wenn Du unbedingt teilen moechtest, dann wende doch diese Formel fuer die geometrische Reihe an: [mm] $t^{n}-1= (t-1)\sum_{i=0}^{n-1} t^{i}$. [/mm] Zum Beispiel ist [mm] $t^{3}-5t^{2}+2= t^{3}-1+1-5(t^{2}-1+1)+2= t^{3}-1-5(t^{2}-1)-2= (t-1)(t^{2}+t+1)-5(t-1)(t+1)-2= (t-1)(t^{2}-4t-4)-2$, [/mm] d.h. [mm] $t^{3}-5t^{2}+2$ [/mm] geteilt durch $t-1$ ergibt [mm] $t^{2}-4t-4$ [/mm] mit dem Rest $-2$.
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