erzeugte R Moduln < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 01:28 Mo 02.05.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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| Aufgabe | Sei $R$ ein euklidischer Ring und seien $V_1,V_2$ zwei nichttriviale endlich erzeugte R-Moduln.
Sei $l_i$ die Anzahl der Elementarteiler von $V_i,i\in \{1,2\}$.
1. Man begründe, dass $V_1 \times V_2$ höchstens $l_1+l_2$ Elementarteiler hat.
2. Man gebe ein Beispiel an, wo $V_1\times V_2$ genau $l_2+l_2$ Elementarteiler hat.
3.Man gebe ein Beispiel an, wo $V_1\times V_2$ weniger als $l_1+l_2$ Elementarteiler hat.
4.Ist es möglich, dass $V_1 \times V_2$ genau $l_1$ Elementarteiler hat. |
zu 1.
Die Begründung ist
Sei $n\in N,s\in N,V_1 \cong \frac{\mathbb{R}}{d_1}\times\frac{\mathbb{R}}{d_2}\times..\frac{\mathbb{R}}{d_n}},V_2= \cong \frac{\mathbb{R}}{d_s_1}\times\frac{\mathbb{R}}{d_s_2}\times..\frac{\mathbb{R}}{d_s_n}}\Rightarrow V_1 \times V_2 = \frac{\mathbb{R}}{d_1}\times\frac{\mathbb{R}}{d_2}\times..\frac{\mathbb{R}}{d_n}}\times\frac{\mathbb{R}}{ds_1}\times\frac{\mathbb{R}}{ds_2}\times..\frac{\mathbb{R}}{ds_n}}$
Das sind dann laut Definition höchstens $l_1+l_2$ Elementarteiler,weobei $d_1..d_n,d_s_1..d_s_n$ die Elementarteiler von $V_1$ bzw. $V_2$
Zu 2.
Sein $V_1$ R Modul mit Präsentierungsmatrix (2),$V_2$ mit Präsentierungsmatrix $(3)$.Dann sind das gerade die Elementarteiler.
Also
$V_1\times V_2 = 2 \times 3= l_1+l_2$
zu 3.
seien 3,6 die Elementarteiler von $V_1$, 18 die Elementarreiler von V_2
dann ist(3,6) wegen 18 = 3 x 6 , die Elementarteiler von $V_1\times V_2$
zu 4. Ja es ist möglich besinder bei $V_1=V_2$
Vielen Dank im voraus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:20 Mi 04.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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