erzeugte Untergruppe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:12 Di 09.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Mit folgender Aufgabe habe ich irgendwie ein Problem:
Sei G eine Gruppe und [mm] A\subset [/mm] G. Die von A erzeugte Untergruppe erz(A) ist definiert durch
[mm] erz(A)=\{a_1*...*a_n:n\in\IN, a_i\in \mbox{A oder } a_i^{-1}\in A\}.
[/mm]
erz(A) ist somit die Menge aller endlichen Produkte von Elementen aus A bzw. deren Inversen. Zeigen Sie, dass erz(A) die "kleinste" Untergruppe von G ist, die A enthält. d.h.
i) [mm] erz(A)\subset [/mm] G ist eine Untergruppe.
ii) Ist [mm] U\subset [/mm] G eine Untergruppe mit [mm] A\subset [/mm] U, so folgt [mm] erz(A)\subset [/mm] U.
Wie sieht erz(A) aus für den Fall, dass A einelementig ist?
Also, die letzte Frage bekomme ich hoffentlich noch alleine hin, wenn mir jemand vorher ein bisschen was erklärt.
Also erstmal kann ich mir zwar unter erz(A) etwas vorstellen, bin mir aber nicht sicher, ob das richtig ist. Kann mir da jemand ein Beispiel für geben? Oder sagen, unter welchem Stichwort ich mal nach ein paar Infos darüber suchen könnte? (unter "erzeugte Untergruppe" finde ich leider nichts)
Dann müsste ich für i) ja zeigen, dass für je zwei Elemente aus erz(A) auch deren Verknüpfung wieder in erz(A) ist. Aber muss ich dafür nicht wissen, welche Verknüpfung hier gemeint ist? Ich sehe nirgendwo eine angegeben...
Und zu ii) könnte mir vllt jemand sagen, wie man das so im Prinzip macht?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 Di 09.08.2005 | | Autor: | statler |
> Hallo!
Auch hallo!
> Mit folgender Aufgabe habe ich irgendwie ein Problem:
>
> Sei G eine Gruppe und [mm]A\subset[/mm] G. Die von A erzeugte
> Untergruppe erz(A) ist definiert durch
>
> [mm]erz(A)=\{a_1*...*a_n:n\in\IN, a_i\in \mbox{A oder } a_i^{-1}\in A\}.[/mm]
>
> erz(A) ist somit die Menge aller endlichen Produkte von
> Elementen aus A bzw. deren Inversen. Zeigen Sie, dass
> erz(A) die "kleinste" Untergruppe von G ist, die A enthält.
> d.h.
> i) [mm]erz(A)\subset[/mm] G ist eine Untergruppe.
Ein Bsp. ist für G die ganzen Zahlen mit Add. die von 4 und 6 erzeugte U-Gruppe.
Man muß genau genommen 4 Sachen zeigen:
Abgeschlossenheit: Ich schreibe einfach die beiden zu verknüpfenden Elemente hintereinander (die Verknüpfung ist nat. die Verknüpfung in G), dann entsteht wieder so ein endliches Produkt von [mm] a_1 [/mm] über [mm] a_n [/mm] verknüpft mit [mm] b_1 [/mm] bis [mm] b_m, [/mm] gibt zunächst ein Produkt der Länge n + m.
Assoziativität: klar, weil in G vorhanden
inverses Element: auch klar, weil Inverses von Produkt gleich Produkt der Inversen in umgekehrter Reihenfolge; ich darf das machen, weil ja [mm] a_i [/mm] oder das Inverse von [mm] a_i [/mm] in A liegen sollen
neutrales Element: schwierig, man nimmt das leere Produkt
So ein endl. Produkt heißt manchmal auch ein 'Wort'.
> ii) Ist [mm]U\subset[/mm] G eine Untergruppe mit [mm]A\subset[/mm] U, so
> folgt [mm]erz(A)\subset[/mm] U.
Das ist deswegen so, weil ich durch diese Operationen nicht aus U rauskomme (grob gesprochen, wie der Mathematiker gerne sagt). Was könnte man im Bsp. für U nehmen?
> Wie sieht erz(A) aus für den Fall, dass A einelementig
> ist?
Was erzeugt denn 4 in Z?
>
> Also, die letzte Frage bekomme ich hoffentlich noch alleine
> hin, wenn mir jemand vorher ein bisschen was erklärt.
>
> Also erstmal kann ich mir zwar unter erz(A) etwas
> vorstellen, bin mir aber nicht sicher, ob das richtig ist.
> Kann mir da jemand ein Beispiel für geben? Oder sagen,
> unter welchem Stichwort ich mal nach ein paar Infos darüber
> suchen könnte? (unter "erzeugte Untergruppe" finde ich
> leider nichts)
>
> Dann müsste ich für i) ja zeigen, dass für je zwei Elemente
> aus erz(A) auch deren Verknüpfung wieder in erz(A) ist.
> Aber muss ich dafür nicht wissen, welche Verknüpfung hier
> gemeint ist? Ich sehe nirgendwo eine angegeben...
> Und zu ii) könnte mir vllt jemand sagen, wie man das so im
> Prinzip macht?
>
> Viele Grüße
> Bastiane
>
>
Grüße zurück und ab in den Feierabend (Nachhilfe geben)
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:39 Di 09.08.2005 | | Autor: | SEcki |
> neutrales Element: schwierig, man nimmt das leere Produkt
Wie meinst du das mit schwierig? Falls A nichtleer ist, dann kann man ja einfach [m]e=aa^{-1}[/m] erhalten.Diesen Kniff brauchtman also nur bei der leeren Menge.
> > ii) Ist [mm]U\subset[/mm] G eine Untergruppe mit [mm]A\subset[/mm] U, so
> > folgt [mm]erz(A)\subset[/mm] U.
> Das ist deswegen so, weil ich durch diese Operationen nicht
> aus U rauskomme (grob gesprochen, wie der Mathematiker
> gerne sagt). Was könnte man im Bsp. für U nehmen?
Hm? Die Idee ist doch: wenn A in U entahlten ist, dann folgt auch, dass erz(A) in U enthalten ist, und dies folgt (unmitellbar und eher trivial) daraus, das U eine Untergruppe ist. as man für U nehmen kann, ist doch hier egal - man kann jede Untergruppe zwischen erz(A) und G nehmen.
> > Wie sieht erz(A) aus für den Fall, dass A einelementig
> > ist?
> Was erzeugt denn 4 in Z?
Es geht auch einfacher: was erzeugt [m]\IZ[/m]?
SEcki
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