essentielles Supremum < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 Mo 11.05.2015 | | Autor: | Mapunzel |
| Aufgabe | Es sei [mm] (\mathbb{R}, \mathbb{B}, \mu) [/mm] ein Maßraum. und [mm] f:\Omega\mapsto\mathbb{R} [/mm] eine messbare Funktion von [mm] (\mathbb{R}, \mathbb{B}, \mu) [/mm] nach [mm] (\mathbb{R},\mathbb{B}), [/mm] wobei mit [mm] \mu [/mm] das Lebesgue-maß gemeint ist. Wenn f stetig ist, dann ist
ess [mm] \sup [/mm] f = [mm] \sup [/mm] f |
Hallo,
ich versteh nicht, wenn man eine konstante Funktion hat dann gibt es doch kein ess sup, weil [mm] \mu( \{ f=c\} )=\mu (\Omega). [/mm] Aber c ist doch das Supremum. Versteh glaub ich die Aufgabensttellung nicht, wäre nett wenn mir jemand helfen könnte. Vielen Dank schonmal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:32 Di 12.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm](\mathbb{R}, \mathbb{B}, \mu)[/mm] ein Maßraum. und
> [mm]f:\Omega\mapsto\mathbb{R}[/mm] eine messbare Funktion von
> [mm](\mathbb{R}, \mathbb{B}, \mu)[/mm] nach [mm](\mathbb{R},\mathbb{B}),[/mm]
> wobei mit [mm]\mu[/mm] das Lebesgue-maß gemeint ist.
Da gehts ein wenig drunter und drüber ! Es ist also [mm] \Omega [/mm] = [mm] \IR [/mm] und [mm] \mu [/mm] das Lebesguemaß.
> Wenn f stetig
> ist, dann ist
> ess [mm]\sup[/mm] f = [mm]\sup[/mm] f
> Hallo,
>
> ich versteh nicht, wenn man eine konstante Funktion hat
> dann gibt es doch kein ess sup, weil [mm]\mu( \{ f=c\} )=\mu (\Omega).[/mm]
> Aber c ist doch das Supremum. Versteh glaub ich die
> Aufgabensttellung nicht,
Du hast noch nicht verstanden, wie ess $ [mm] \sup [/mm] $ f def. ist !
Wir setzen
[mm] U_f:=\{a \in \IR: \mu( \{f>a\})=0\}
[/mm]
Dann ist ess sup f := inf [mm] U_f.
[/mm]
Nun sei f konstant, etwa f(x) =c für alle x.
Ist a [mm] \ge [/mm] c, so ist [mm] \{f>a\}= \emptyset, [/mm] also [mm] \mu( \{f>a\})=0 [/mm] und somit a [mm] \in U_f.
[/mm]
Ist a<c, so ist [mm] \{f>a\}= \IR, [/mm] also [mm] \mu( \{f>a\}) \ne [/mm] 0 und somit a [mm] \notin U_f.
[/mm]
Fazit: [mm] U_f=[c, \infty) [/mm] und daher
ess sup f=c (=supf),
wie gewünscht.
FRED
> wäre nett wenn mir jemand helfen
> könnte. Vielen Dank schonmal.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Di 12.05.2015 | | Autor: | Mapunzel |
Hallo fred, danke erstmal für deine schnelle Antwort. Wir haben aber das ess sup anders definiert, das hätte ich vlt schrieben sollen. Bei uns ist es mit [mm] \inf\{a \in \IR: \mu( \{f\ge a\})=0\} [/mm] definiert. Und dann geht das meiner Meinung nach schief oder? Danke für deine Mühe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 Di 12.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred, danke erstmal für deine schnelle Antwort. Wir
> haben aber das ess sup anders definiert, das hätte ich vlt
> schrieben sollen. Bei uns ist es mit [mm]\inf\{a \in \IR: \mu( \{f\ge a\})=0\}[/mm]
> definiert. Und dann geht das meiner Meinung nach schief
> oder?
Nein ! beide Def. sind gleichwertig !
Sei wieder f konstant =c und [mm] M_f:=\{a \in \IR: \mu( \{f\ge a\})=0\}.
[/mm]
jetzt ist [mm] $M_f=(c, \infty)$ [/mm] und damit inf [mm] M_f=c.
[/mm]
FRED
> Danke für deine Mühe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:04 Di 12.05.2015 | | Autor: | Mapunzel |
Ok, ich habs verstanden. c wär in dem Fall trotzdem das infimum, es wird nur auf der Menge nicht angenommen. Danke für die Erklärung..
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