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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:34 Do 10.06.2010 | | Autor: | Nerix |
| Aufgabe | | Ist jeder winkel-erhaltende Endomorphismus der euklidischen Ebene orthogonal?Begründung? |
Hallo, weiß nicht wie ich hier argumentieren soll!Meinem gefühl nach stimmt die Aussage.
Danke
Nerix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:44 Do 10.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
nimm ne nicht orthogonale matrix. auf was werden die senkrechten Basisvektoren abgebildet?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Do 10.06.2010 | | Autor: | Nerix |
Hallo,
ich weiß ned genau was mir das hilft, aber ich probiers mal:
Bsp für nicht orthogonale Matrizen:
[mm] a)\pmat{ -3 \\ 4 \\ 1 }, [/mm] b) [mm] \pmat{ 0 \\ 0 \\ 5 } [/mm] , c) [mm] \pmat{ 4 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
es gilt nicht wie für orthogonale Matrizen nötig: a*b = 0, a*c= 0 und b*c=0
so wohin bilden die ab???Gute Frage!Weiß ich nicht wie ich das berechne!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Do 10.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) wieso jetzt [mm] R^3
[/mm]
wie sieht denn ne matrix A die ne Abb in [mm] R^2 [/mm] erzeugt allgemein aus?
wohin bildet sie [mm] (1,0)^T,(0,1)^t [/mm] ab?
was heisst sie ist nicht orthogonal?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Do 10.06.2010 | | Autor: | Nerix |
hallo,
also richtig,ich bin ja in der euklidischen EBENE--> [mm] R^2!Ahhh^^
[/mm]
ok:
[mm] R^2 [/mm] --> [mm] R^2, [/mm] f: u [mm] \mapsto [/mm] v /u,v [mm] \varepsilon [/mm] V
u:= [mm] \pmat{ u1 \\ u2 } [/mm] und v:= [mm] \pmat{ v1 \\ v2 }
[/mm]
die Matrix welche dann u auf v abbildet sieht dann allgemein so aus:
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d }, [/mm] wobei a,b,c,d [mm] \varepsilon [/mm] V.
so gilt:
[mm] \pmat{ u1 \\ u2 } [/mm] = [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] * [mm] \pmat{ v1 \\ v2 }
[/mm]
richtig soweit,nicht?
meinst du mit ^T Transponiert???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:19 Do 10.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja. ^T heisst transponiert, wenn ich keine Lust hab Spaltenvektoren zu haben.
wenn jetzt v1,v2 orthogonal sind also der Winkel 90° was ist dann mit u1,v1 falls (a,c) nicht orthogonal zu (b,d)?
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Do 10.06.2010 | | Autor: | Nerix |
ok, falls a,c nicht orthogonal zu b,d, dann sind u1 und v1 nicht orthogonal zueinander,oder???Das würde bedeuten,dass die Aussage der Aufgabenstellung nicht immer stimmt, sonder nur falls a,c zu b,d auch orthogonal,richtig??
gruß
Nerix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:32 Do 10.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
es geht doch nicht um u1,v1, sondern die Bilder von v1,v2
wie sehen die aus. nimm v1=(1,0) v2=(0,1) was ist dann u1,u2, also die Bolder.
v1 und v2 sind senkrecht aufeinander , wa ist mit u1,u2 und begründe warum!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Nerix |
Hallo,
naja,dann stehen die Bilder auch senkrecht zu einander,weil die "Operation"/Abbildung ja auf beide gleichermaßen wirkt.Reicht das als Begründung??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Mo 14.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst schon ne Antwort auf die Frage geben, dein "dann" bezieht sich auf was?
ich versteh deine Aussage nicht.
also schreib ne wirkliche Begr, und ich sag dir ob sie richtig ist.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Nerix |
hallo,
dass dann bezieht sich auf, wenn die Ursprungsabblidungen. Wenn diese senkrecht aufeinander stehen, dann sind ihre Bilder auch senkrecht zueinander, weil die Abbildung ja nichts an ihrer Position zueinander ändert!
Gruß
Nerix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Mo 14.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig. aber du sollst ja nicht zeigen, dass orthogonale Abb. winkeltreu sind, sondern ob es andere winkeltreue ABB gibt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:39 Di 15.06.2010 | | Autor: | Nerix |
Hallo,
Ich versuch mal zu zeigen,wo eine nicht orthogonale Abbildung der orthogonalen basisvektoren abgebildet würde:
also [mm] R^2 [/mm] --> [mm] R^2 [/mm] , [mm] \vektor{x \\ y} \mapsto \pmat{ -3 & 1 \\ 4 & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ -3x+y \\ 4x } [/mm] (weiß nicht ob ich diese frei von mir gewählte nicht orthogonale Matrix verwenden kann??!)
dann wäre [mm] f(\pmat{ 0 \\ 1 } [/mm] = 1 und [mm] f(\pmat{ 1 \\ 0 } [/mm] = 1 .... dann wären die Bilder der Abbildung NICHT MEHR ORTHOGONAL.
Stimmt des?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:38 Di 15.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. ein Bsp ist nie ein Beweis.
2. steht da irgendwie nix sinnvolles, wie wird ein Vektor enn auf ne zahl abgebildet?
wie hast du denn [mm] \vektor{1\\0} [/mm] mit deiner matrix abgebildet?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Di 15.06.2010 | | Autor: | Nerix |
Hallo,
also wie ich für [mm] (1,0)^T [/mm] abgebildet habe??ßJa 1 als x-Wert und 0 als y-Wert eingesetzt. und dann "die erste Zeile"+ "die" zweite Zeile,aber du hast recht, ich will ja nen vektor!(wer gedankenmäßig beim kern von ner Matrix)
Nochmal für [mm] (0,1)^T [/mm] : [mm] (1;0)^T [/mm] und für [mm] (1,0)^T: [/mm] ( -3, [mm] 4)^T, [/mm] richtig jetzt??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Di 15.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
das ist jetz richtig, aber warum nicht mit ner Matrix :
[mm] \pmat{ a & c \\ b & d } [/mm] mit [mm] \vektor{a \\ b}*\vektor{c \\ d}\ne [/mm] 0
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Di 15.06.2010 | | Autor: | Nerix |
Hallo,
ich fasse also zusammen: Es gibt durchaus winkel-erhaltende Endomorphismen der euklidischen Ebene, welche nicht orthogonal sind (siehe mein Beispiel). Begründung:
Wenn zwar die Ausgangsvektoren orthogonal sind, aber die Abbildungsmatrix nicht, dann sind die Bilder ebenfalls NICHT orthogonal,
(---> Überlegung: Aber dann sind sie ja nicht winkel-erhaltend,...hmm^^)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:53 Di 15.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was willst du denn eigentlich zeigen? lies nochmal deine Aufgabe durch!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Mi 16.06.2010 | | Autor: | Nerix |
Hallo,
ich möchte beantworten, ob jeder winkel-erhaltende Endomorphismus orthogonal ist! Also ja, wenn er winkelerhält, dann muss er Orthogonal sein! Denn nicht orthogonale Ausgangsvektoren werden nicht winkel-erhaltend abgebidel!Oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 Mi 16.06.2010 | | Autor: | leduart |
Ja
wenn du das mit ner allgemeinen nicht orthogonalen M. gezeigt hast , dass mindestens ein Winkel nicht erhalten bleibt. dann hast dus gezeigt.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:28 Mi 16.06.2010 | | Autor: | Nerix |
Hallo,
ganz lieben Dank an Leduart, der sich extrem viel Zeit genommen hat um meine Verständnis-Probleme zu beheben!
Gruß Nerix
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