euklidischer abstand < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:21 Di 19.07.2005 | | Autor: | woody |
hi
ich habe hier eine aufgabe, mit der ich nicht zurechtkomme-euklidische abstandsfunktion. hilfe! ich weiss nichts mit der aufgabe anzufangen, geschweige etwas mit dem thema anfangen zu können. folgendes: ebene:
E= [mm] \vektor{x \\ y\\z} \in \IR3:x+y+2z=3
[/mm]
begründe ,dass (x,y,z) [mm] \in [/mm] E derart gibt, welches unter [mm] (x,y,z)\in [/mm] E minimalen euklidischen abstand zu h:( 0,0,1) hat. und berechen den abstand!
ich bitt euch, kann mir jemand sagen, wie man so eine aufgabe löst. und um was es sich überhaupt bei dem thema handelt? brauche dringend hilfe!!
vielen, vielen dank- gruss-woody
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Hallo Woody,
Lege durch den Punkt h eine Gerade g, die normal auf die Ebene E steht. Sei P der Schnittpunkt von g mit E. Dann hat P [mm] \in [/mm] E den minimalen Abstand zu h. Der Abstand ist dann die Länge des Vektors P-h.
Beweis: Sei Q [mm] \in [/mm] E, Q [mm] \not= [/mm] P. Dann ist das Dreieck PQh ein rechtwinkliges, mit rechtem Winkel in P. Die Seite hQ ist dann die Hypotenuse, und hP eine Kathete. Also ist hP immer kürzer als hQ. q.e.d.
Liebe Grüße,
Holy Diver
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:15 Di 19.07.2005 | | Autor: | woody |
hi
ersteinmal danke. es scheint mir aber, dass die vorgeschlagene lösung eine geometrische ist. wir haben uns aufgeschrieben, dass es da eine formel gibt.und zwar |pq| := ( (px - qx)2 + (py - qy)2 )1/2 > für ebene
jedoch weiss ich nichts damit anzufangen. p.s. wir sind bei matrizenrechnung.
thx a lot-woody
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Salut!
Deine Formal läuft auf vergleichbares hinaus:
P und Q sind Punkte, p und q die sie repräsentierenden Vektoren, im euklidischen [mm] \IR^{2}, [/mm] |pq| soll offenbar der Abstand zwischen P und Q sein.
Gut, um diesen zu berechnen bildest du dir zunächst die Differenz p - q (oder q - p, dies macht jedoch keinen Unterschied, da du das Ergebnis im weiteren Verlauf ohnehin wieder quadrieren wirst), erhältst also als Ergebnis einen Differenzvektor d.
Von diesem Vektor willst du nun die Länge wissen, da diese identisch dem von dir gesuchten Abstand ist.
Also berechnest du dir die euklidische Norm des Ganzen:
||d|| = [mm] \wurzel{} [/mm] = [mm] \wurzel{d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+...+d_{n}^{2}};
[/mm]
du befindest dich mit deiner Formal im [mm] \IR^{2}, [/mm] also ist ||d|| = [mm] \wurzel{d_{1}^{2} + d_{2}^{2}} (\IR^{3} [/mm] analog mit drei Komponenten).
Gut, und nachdem dein Differenzvektor ja die Form [mm] \vektor{px - qx \\ py - qy} [/mm] hat, ergibt sich für den Abstand:
|pq| = ((px - [mm] qx)^{2} [/mm] + (py - [mm] qy)^{2})^{1/2} [/mm] = [mm] \wurzel{(px - qx)^{2} + (py - qy)^{2}}.
[/mm]
Und um die Punkte mit der kürzesten Distanz zu finden, kann ich dich auch nur auf die Lösung meines "Vorschreibers" verweisen - diese mag dir geometrisch erscheinen (ist sie auch :) ), lässt sich aber durch analytische Geometrie in Formeln fassen - versuch's einfach einmal(Geradengleichung, Ebenengleichung, Senkrechte auf der Ebene durch den Punkt P errichten bzw. Lot von P auf die Ebene fällen).
Au revoir,
jeu blanc.
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