ex. Erwartungswert? < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:42 Mi 09.11.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Sei $X$ eine Zufallsvariable mit der Dichte
[mm] $f(x)=\frac{1}{\pi}\cdot \frac{1}{1+x^2}, x\in\mathbb [/mm] R$.
Besitzt $X$ einen Erwartungswert? |
Hallo! Könnt ihr mir bitte weiterhelfen?
Mein bisheriger Ansatz:
[mm] $E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}x\cdot\frac{1}{\pi}\cdot\frac{1}{1+x^2} \, dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{1+x^2} \, dx=\lim_{a\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-a}^{a}\frac{x}{1+x^2} \, [/mm] dx$
Partielle Integration:
[mm] $f'(x):=\frac{1}{1+x^2}\Rightarrow f(x)=\tan^{-1}(x)$
[/mm]
[mm] $g(x):=x\Rightarrow [/mm] g'(x)=1$
[mm] $\lim_{a\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-a}^{a}\frac{x}{1+x^2} \, dx=\lim_{a\to\infty}\frac{1}{\pi}[\tan^{-1}(x)\cdot x]_{-a}^{a}-\int_{-a}^{a}\tan^{-1}(x) \, dx=a\cdot\tan^{-1}(a)-a\cdot\tan^{-1}(a)-0=0$
[/mm]
Daraus folgt [mm] $\lim_{a\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-a}^{a}\frac{1}{1+x^2} \, [/mm] dx=0$ und damit
$E(X)=0$.
Ein Feedback wäre toll!
Liebe Grüße
mikexx
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Hallo mikexx,
> Sei [mm]X[/mm] eine Zufallsvariable mit der Dichte
>
> [mm]f(x)=\frac{1}{\pi}\cdot \frac{1}{1+x^2}, x\in\mathbb R[/mm].
>
>
> Besitzt [mm]X[/mm] einen Erwartungswert?
>
> Hallo! Könnt ihr mir bitte weiterhelfen?
>
> Mein bisheriger Ansatz:
>
> [mm]E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}x\cdot\frac{1}{\pi}\cdot\frac{1}{1+x^2} \, dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{1+x^2} \, dx=\lim_{a\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-a}^{a}\frac{x}{1+x^2} \, dx[/mm]
>
> Partielle Integration:
>
> [mm]f'(x):=\frac{1}{1+x^2}\Rightarrow f(x)=\tan^{-1}(x)[/mm]
>
> [mm]g(x):=x\Rightarrow g'(x)=1[/mm]
>
> [mm]\lim_{a\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-a}^{a}\frac{x}{1+x^2} \, dx=\lim_{a\to\infty}\frac{1}{\pi}[\tan^{-1}(x)\cdot x]_{-a}^{a}-\int_{-a}^{a}\tan^{-1}(x) \, dx=a\cdot\tan^{-1}(a)-a\cdot\tan^{-1}(a)-0=0[/mm]
>
Das geht auch ohne partielle Integration, denn [mm]\left(1+x^{2}\right)'=2x[/mm]
> Daraus folgt
> [mm]\lim_{a\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-a}^{a}\frac{1}{1+x^2} \, dx=0[/mm]
> und damit
>
> [mm]E(X)=0[/mm].
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> Ein Feedback wäre toll!
>
> Liebe Grüße
>
> mikexx
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Mi 09.11.2011 | | Autor: | mikexx |
Aber ich habe dazu mal eine Frage.
Ich habe nämlich gelesen, daß das die Cauchyverteilung ist und daß das keinen Erwartungswert hat...
Zum Beispiel hier:
http://matheplanet.com/default3.html?call=/viewtopic.php?topic=107657&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.de%2Furl%3Fsa%3Dt%26rct%3Dj%26q%3Dcauchyverteilung%2520hat%2520keinen%2520erwartungswert%26source%3Dweb%26cd%3D5%26ved%3D0CEIQFjAE
Wie passt das mit meinem Resultat zusammen?
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Hallo mikexx,
> Aber ich habe dazu mal eine Frage.
>
> Ich habe nämlich gelesen, daß das die Cauchyverteilung
> ist und daß das keinen Erwartungswert hat...
>
> Zum Beispiel hier:
>
> http://matheplanet.com/default3.html?call=/viewtopic.php?topic=107657&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.de%2Furl%3Fsa%3Dt%26rct%3Dj%26q%3Dcauchyverteilung%2520hat%2520keinen%2520erwartungswert%26source%3Dweb%26cd%3D5%26ved%3D0CEIQFjAE
>
>
> Wie passt das mit meinem Resultat zusammen?
Nun, die Stammfunktion
[mm]\ln\left(1+x^{2}\right)[/mm]
hat für [mm]x \to \pm\infty[/mm] keinen endlichen Wert.
Rein rechnerisch, ohne Betrachtung der Werte für [mm]x \to \pm\infty[/mm],
ist jedoch das Resultat in Ordnung.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Mi 09.11.2011 | | Autor: | mikexx |
Das ist mir noch nicht klar:
Wie kann es "rein rechnerisch" einen Erwartungswert geben und für Werte, die gegen unendlich gehen, gibts keinen?
Ich integriere doch für alle x-Werte von -unendlich bis +unendlich.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:07 Mi 09.11.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin,
du musst zeigen, dass sowohl
[mm] $\lim_{a\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{0}^{a}\frac{|x|}{1+x^2} \, [/mm] dx [mm] =\lim_{a\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{0}^{a}\frac{x}{1+x^2} \, [/mm] dx$ als auch [mm] $\lim_{a\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{a}^{0}\frac{|x|}{1+x^2} \, dx=-\lim_{a\to-\infty}\frac{1}{\pi}\int_{a}^{0}\frac{x}{1+x^2} \, [/mm] dx$
existiert. Das sind *zwei* Grenzwertbetrachtungen. (Letzteres folgt aus Ersterem wegen Symmetrie.)
[mm] $\lim_{a\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-a}^{a}\frac{|x|}{1+x^2} \, [/mm] dx$ erfordert *eine* Grenzwertbetrachtung.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Mi 09.11.2011 | | Autor: | mikexx |
Es tut mir wirklich leid, daß ich so resistent gegen Hilfe bin, aber ich verstehe nicht, wieso ich das zeigen muss...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:33 Mi 09.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> du musst dich einmal mit der Theorie der
> ![[]](/images/popup.gif) unegentlichen Integrale
> vertraut machen ...
insbesondere 19.6 e) dort.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:42 Mi 09.11.2011 | | Autor: | mikexx |
Danke Euch SEHR!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:28 Mi 09.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]X[/mm] eine Zufallsvariable mit der Dichte
>
> [mm]f(x)=\frac{1}{\pi}\cdot \frac{1}{1+x^2}, x\in\mathbb R[/mm].
>
>
> Besitzt [mm]X[/mm] einen Erwartungswert?
>
> Hallo! Könnt ihr mir bitte weiterhelfen?
>
> Mein bisheriger Ansatz:
>
> [mm]E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}x\cdot\frac{1}{\pi}\cdot\frac{1}{1+x^2} \, dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{1+x^2} \, dx=\lim_{a\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-a}^{a}\frac{x}{1+x^2} \, dx[/mm]
>
> Partielle Integration:
>
> [mm]f'(x):=\frac{1}{1+x^2}\Rightarrow f(x)=\tan^{-1}(x)[/mm]
>
> [mm]g(x):=x\Rightarrow g'(x)=1[/mm]
>
> [mm]\lim_{a\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-a}^{a}\frac{x}{1+x^2} \, dx=\lim_{a\to\infty}\frac{1}{\pi}[\tan^{-1}(x)\cdot x]_{-a}^{a}-\int_{-a}^{a}\tan^{-1}(x) \, dx=a\cdot\tan^{-1}(a)-a\cdot\tan^{-1}(a)-0=0[/mm]
>
> Daraus folgt
> [mm]\lim_{a\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-a}^{a}\frac{1}{1+x^2} \, dx=0[/mm]
Das stimmt soweit.
> und damit
>
> [mm]E(X)=0[/mm].
Das hier stimmt nicht.
Die Identitaet [mm] $\int_{-\infty}^\infty [/mm] f(x) [mm] \; [/mm] dx = [mm] \lim_{x \to \infty} \int_{-x}^x [/mm] f(t) [mm] \; [/mm] dt$ gilt naemlich nur, falls das Integral [mm] $\int_{-\infty}^\infty [/mm] f(x) [mm] \; [/mm] dx$ existiert. Und das tut es hier nicht.
Es existiert und hat endlichen Wert, falls [mm] $\lim_{(x, y)\to(-\infty, \infty)} \int_x^y [/mm] f(t) [mm] \; [/mm] dt$ existiert. Das ist hier nicht der Fall, da man neben $0$ und [mm] $\pm \infty$ [/mm] auch jede weitere reelle Zahl als potentiellen Grenzwert bekommen kann (also als Grenzwert fuer eine Folge [mm] $(x_n, y_n)$, [/mm] die gegen [mm] $(-\infty, \infty)$ [/mm] geht).
Etwas anschaulicher wird es, wenn man auf das Lebesgue-Integral zurueckgreift. Dort ist [mm] $\int_X [/mm] f(x) [mm] \; [/mm] dx$ definiert als [mm] $\int_X [/mm] f^+(x) [mm] \; [/mm] dx - [mm] \int_X [/mm] f^-(x) [mm] \; [/mm] dx$, wobei $f^+$ und $f^-$ Funktionen $X [mm] \to \IR_{\ge 0}$ [/mm] sind mit $f^+ [mm] \cdot [/mm] f^_ = 0$ und $f^+ - f^- = f$. (Also $f^+(x) = [mm] \max\{ f(x), 0 \}$ [/mm] und $f^-(x) = [mm] \max\{ -f(x), 0 \}$.)
[/mm]
Dann existiert [mm] $\int_X [/mm] f(x) [mm] \; [/mm] dx$, falls [mm] $\int_X [/mm] f^+(x) [mm] \; [/mm] dx$ und [mm] $\int_X [/mm] f^-(x) [mm] \; [/mm] dx$ existieren und nicht beide unendlich sind. In diesem Fall sind jedoch beide diese Integrale [mm] $\infty$, [/mm] womit [mm] $\int_\IR [/mm] f(x) [mm] \; [/mm] dx$ nicht existiert.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Mi 09.11.2011 | | Autor: | mikexx |
Ich habe leider noch nicht gut verstanden, warum das Integral nicht existiert.
Könntest Du das vllt. nochmal erklären?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:31 Mi 09.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich habe leider noch nicht gut verstanden, warum das
> Integral nicht existiert.
>
> Könntest Du das vllt. nochmal erklären?
[mm] $\int_{-\infty}^\infty [/mm] f(x) [mm] \; [/mm] dx$ ist per Definition gleich [mm] $\lim_{(x, y) \to (-\infty, +\infty)} \int_x^y [/mm] f(t) [mm] \; [/mm] dt$. Soweit ok?
Du musst also schaun, ob der Grenzwert [mm] $\lim_{(x, y) \to (-\infty, +\infty)} \int_x^y [/mm] f(t) [mm] \; [/mm] dt$ existiert. Soweit ok?
Jetzt hast du [mm] $\lim_{(x, y) \to (-\infty, +\infty)} \int_x^y [/mm] f(t) [mm] \; [/mm] dt = [mm] \lim_{(x, y) \to (-\infty, +\infty)} \tfrac{1}{2} (\log(y^2 [/mm] + 1) - [mm] \log(x^2 [/mm] + 1))$. (Da die Ableitung von [mm] $\tfrac{1}{2} \log(x^2 [/mm] + 1)$ gleich [mm] $\frac{x}{1 + x^2}$ [/mm] ist.) Soweit ok?
Sei $F(x, y) := [mm] \tfrac{1}{2} (\log(y^2 [/mm] + 1) - [mm] \log(x^2 [/mm] + 1))$; dann sind wir an [mm] $\lim_{(x, y) \to (-\infty, +\infty)} [/mm] F(x, y)$ interessiert.
Wenn du nun die Folge [mm] $(x_n, y_n) [/mm] = [mm] (-\sqrt{\exp(\tfrac{1}{2} n) - 1}, \sqrt{\exp(n) - 1}$, [/mm] $n [mm] \in \IN$ [/mm] betrachtest, ist [mm] $F(x_n, y_n) [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] (n - [mm] \frac{1}{2} [/mm] n) = [mm] \frac{1}{4} [/mm] n$, und somit geht [mm] $F(x_n, y_n)$ [/mm] fuer $n [mm] \to \infty$ [/mm] gegen [mm] $+\infty$.
[/mm]
Waehlst du dagegen die Folge [mm] $(x_n, y_n) [/mm] = [mm] (-\sqrt{\exp(n) - 1}, \sqrt{\exp(\tfrac{1}{2} n) - 1}$, [/mm] $n [mm] \in \IN$ [/mm] betrachtest, ist [mm] $F(x_n, y_n) [/mm] = [mm] \frac{1}{2} (\frac{1}{2} [/mm] n - n) = [mm] -\frac{1}{4} [/mm] n$, und somit geht [mm] $F(x_n, y_n)$ [/mm] fuer $n [mm] \to \infty$ [/mm] gegen [mm] $-\infty$.
[/mm]
Waehlst du schliesslich die Folge [mm] $(x_n, y_n) [/mm] = [mm] (-\sqrt{\exp(n) - 1}, \sqrt{\exp(n) - 1}$, [/mm] $n [mm] \in \IN$ [/mm] betrachtest, ist [mm] $F(x_n, y_n) [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] (n - n) = 0$, und somit geht [mm] $F(x_n, y_n)$ [/mm] fuer $n [mm] \to \infty$ [/mm] gegen $0$.
Du siehst also, wenn du verschiedene Folgen [mm] $(x_n, y_n)$ [/mm] mit [mm] $\lim (x_n, y_n) [/mm] = [mm] (-\infty, \infty)$ [/mm] nimmst, ist [mm] $\lim_{n\to\infty} F(x_n, y_n)$ [/mm] abhaengig von der Folge. Damit existiert [mm] $\lim_{(x, y) \to (-\infty, +\infty)} [/mm] F(x, y)$ nicht.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 Mi 09.11.2011 | | Autor: | mikexx |
Also, wenn ich jetzt auf meinen Zettel schreibe:
Das Integral divergiert, weil
1.) [mm]\int_{0}^{\infty}\frac{x}{1+x^2} \, dx=\infty[/mm]
2.) [mm]\int_{-\infty}^{0}\frac{x}{1+x^2} \, dx=-\infty[/mm]
und deswegen existiert der Erwartungswert nicht...
dann wäre das okay?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:27 Do 10.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Also, wenn ich jetzt auf meinen Zettel schreibe:
>
> Das Integral divergiert, weil
es divergiert nicht, es existiert einfach nicht. Es wuerde divergieren, wenn einer der beiden Ergebnisse unten [mm] $\pm \infty$ [/mm] waer und der andere entweder genau das gleiche Unendlich, oder ein endlicher Wert.
Da aber verschiedene Unendlichs auftreten, existiert es einfach nicht.
> 1.) [mm]\int_{0}^{\infty}\frac{x}{1+x^2} \, dx=\infty[/mm]
>
> 2.) [mm]\int_{-\infty}^{0}\frac{x}{1+x^2} \, dx=-\infty[/mm]
>
> und deswegen existiert der Erwartungswert nicht...
>
> dann wäre das okay?
Solange du nicht erwaehnst, dass es divergiert, sondern nur, dass es nicht existiert, dann stimmt es.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:43 Do 10.11.2011 | | Autor: | mikexx |
Danke an Euch!
Wieder habt Ihr mir sehr (!) geholfen!
LG
mikexx
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