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| Aufgabe | Informiere dich im SElbststudium über exakte DGL.
Bestimme alle Lösungen der exakten DGL in impliziter Form:
[mm] (cos(x+y^2)+3y)dx+(2ycos(x+y^2)+3x)dy=0 [/mm] |
Okay, mein Lösungsansatz hierzu:
Interabilitätskriterium prüfen:
[mm] f(x,y)=(cos(x+y^2)+3y)
[/mm]
[mm] g(x,y)=(2ycos(x+y^2)+3x)
[/mm]
[mm] \bruch{d}{d(y)}(cos(x+y^2)+3y=3-2ysin(x+y^2)
[/mm]
[mm] \bruch{d}{d(x)}(2cos(x+y^2)+3x=3-2ysin(x+y^2)
[/mm]
[mm] F=\integral_{}^{}{(cos(x+y^2)+3y}dx+\integral_{}^{}{(2ycos(x+y^2)+3x}dy
[/mm]
[mm] =sin(x+y^2)+3xy+sin(x+y^2)+3xy=c
[/mm]
So..bis hierher bin ich Schritt für Schritt die Musterlösung aus einem Buch abgelaufen, aber jetzt komme ich nicht weiter. Laut Literatur kann ich 3xy weglassen, weil es doppelt vorkommt und ich muss nun nach y umstellen. Allerdings stelle ich mich mit dem Umstellen nach y etwas schwer.
Könnt ihr mir dabei helfen bzw ist das soweit überhaupt richtig?
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:48 Fr 09.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Informiere dich im SElbststudium über exakte DGL.
> Bestimme alle Lösungen der exakten DGL in impliziter
> Form:
>
> [mm](cos(x+y^2)+3y)dx+(2ycos(x+y^2)+3x)dy=0[/mm]
> Okay, mein Lösungsansatz hierzu:
>
> Interabilitätskriterium prüfen:
>
> [mm]f(x,y)=(cos(x+y^2)+3y)[/mm]
> [mm]g(x,y)=(2ycos(x+y^2)+3x)[/mm]
>
> [mm]\bruch{d}{d(y)}(cos(x+y^2)+3y=3-2ysin(x+y^2)[/mm]
>
> [mm]\bruch{d}{d(x)}(2cos(x+y^2)+3x=3-2ysin(x+y^2)[/mm]
>
> [mm]F=\integral_{}^{}{(cos(x+y^2)+3y}dx+\integral_{}^{}{(2ycos(x+y^2)+3x}dy[/mm]
> [mm]=sin(x+y^2)+3xy+sin(x+y^2)+3xy=c[/mm]
Das ist merkwürdig.
Gesucht ist doch eine Funktion F mit
gradF=(f,g)
Dies leistet z.B. F(x,y)= [mm] sin(x+y^2)+3xy
[/mm]
>
> So..bis hierher bin ich Schritt für Schritt die
> Musterlösung aus einem Buch abgelaufen, aber jetzt komme
> ich nicht weiter. Laut Literatur kann ich 3xy weglassen,
> weil es doppelt vorkommt
Was ist los ???
> und ich muss nun nach y umstellen.
> Allerdings stelle ich mich mit dem Umstellen nach y etwas
> schwer.
Das geht mir genauso !
Die Gl. $ [mm] sin(x+y^2)+3xy [/mm] =C$ kannst Du nicht "von Hand" nach y auflösen.
Wie heißt es in der Aufgabenstellung ?
"Bestimme alle Lösungen der exakten DGL in impliziter Form"
Bitteschön: für jedes C [mm] \in\IR [/mm] ist durch die Gl. $ [mm] sin(x+y^2)+3xy [/mm] =C$ implizit eine Lösung der vDGL definiert.
FRED
>
> Könnt ihr mir dabei helfen bzw ist das soweit überhaupt
> richtig?
>
> MfG
> Mathegirl
>
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> [mm]F=\integral_{}^{}{(cos(x+y^2)+3y}dx+\integral_{}^{}{(2ycos(x+y^2)+3x}dy[/mm]
> > [mm]=sin(x+y^2)+3xy+sin(x+y^2)+3xy=c[/mm]
Das habe ich mir gedacht, dass ich das doppelte "weglassen" kann. Aber warum? Im Buch stand einfach nur: "..ist doppelt, lass es weg" Kannst du mir das vielleicht nochmal kurz erklären?
Oh...also ist das schon die implizite Lösung des DGL?
Stimmt, y=... ist ja die Allgemeine Lösung (Denkfehler)
sin [mm] (x+y^2)+3xy=C [/mm] ist also meine implizite Lösung.
In welchem Quadranten läuft die Lösung durch den Nullpunkt (warum gibt es genau eine?)?
Wie kann ich das herausfinden?
MfG
mathegirl
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[mm]=sin(x+y^2)+3xy+sin(x+y^2)+3xy=c[/mm]
> Das habe ich mir gedacht, dass ich das doppelte "weglassen"
> kann. Aber warum? Im Buch stand einfach nur: "..ist
> doppelt, lass es weg" Kannst du mir das vielleicht nochmal
> kurz erklären?
> In welchem Quadranten läuft die Lösung durch den
> Nullpunkt (warum gibt es genau eine?)?
Könnt ihr mir dabei helfen? Über Tipps wäre ich sehr dankbar!
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:32 Fr 09.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. das ist nur möglich für c=0 (warum)
da f(x,y)=0 wenn es durch 0 läuft nicht in einem Quadranten läuft, ist die Frage so sinnlos
setz x=y*0 und dann erhöhe und erniedrige y, wo ist dann jeweils y. oder mach dasselbe mit y
Zum verspäteten Nikolaus ein geschenk: deine fkt für c=1
[Dateianhang nicht öffentlich]
Du bist einfach zu wenig experimentierfreudig!
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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:):) Vielen Dank!! Hm...das mit zeichnen hätte ich wohl selbst auch mal probieren sollen, dann hätte ich es veranschaulicht und könnte die Antwort zur Aufgabenstellung erkennen.
Sehr nett von dir, vielen Dank!
Aber eine Frage noch: Was meisnt du mit erhöhe/erniedrige y oder x?
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 Fr 09.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
c=0 x=0 folgt y=0 jetzt nicht x=0 sondern 0.01 und -0.01 oder so; was tut y?
oder y=0.01 und -0.01 was tut x, dabei kommts ja nicht auf genaue Werte, nur auf Vorzeichen an.
war die Frage wirklich in welchenm Quadranten?
Gruss leduart
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Ah, so meinst du das, alles klar, ich habs verstanden ;)
Ja,
In welchem Quadranten läuft die Lösung durch den Nullpunkt(warum gibt es nur eine Lösung?)?
So lautet die exakte Fragestellung der Aufgabe.
MfG
Mathegirl
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