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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:37 Sa 03.12.2011 | | Autor: | Joan2 |
| Aufgabe | Ist die Sequenz
[mm] \ldots \xrightarrow{f_{n+2}} A_{n+1} \xrightarrow{f_{n+1}} A_{n} \xrightarrow{f_{n}} A_{n-1} \xrightarrow{f_{n-1}} \ldots
[/mm]
exakt, so sind die folgende Aussagen äquivalent:
[mm] f_{n+1} [/mm] ist surjektiv;
[mm] f_n [/mm] ist der Nullhomomorphismus
[mm] f_{n-1} [/mm] ist injektiv.
Ferner gilt:
Ist [mm] f_{n+2} [/mm] surjektiv und [mm] f_{n-1} [/mm] injektiv, so ist [mm] A_n [/mm] = 0. |
Hallo,
ich versuche gerade exakte Sequenzen zu verstehen. In einem Buch stand das obige Beispiel dazu.
Kann mir einer erklären warum der Einschluss einer surjektiven und injektive Abbildung immer die Nullgruppe ist.
Liegt das daran, dass [mm] im(f_{n+1})=ker(f_n) [/mm] ist?
Liebe Grüße,
Joan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:09 Sa 03.12.2011 | | Autor: | Berieux |
Hallo!
> Ist die Sequenz
> [mm]\ldots \xrightarrow{f_{n+2}} A_{n+1} \xrightarrow{f_{n+1}} A_{n} \xrightarrow{f_{n}} A_{n-1} \xrightarrow{f_{n-1}} \ldots[/mm]
>
> exakt, so sind die folgende Aussagen äquivalent:
> [mm]f_{n+1}[/mm] ist surjektiv;
> [mm]f_n[/mm] ist der Nullhomomorphismus
> [mm]f_{n-1}[/mm] ist injektiv.
>
> Ferner gilt:
> Ist [mm]f_{n+2}[/mm] surjektiv und [mm]f_{n-1}[/mm] injektiv, so ist [mm]A_n[/mm] =
> 0.
> Hallo,
>
> ich versuche gerade exakte Sequenzen zu verstehen. In einem
> Buch stand das obige Beispiel dazu.
>
> Kann mir einer erklären warum der Einschluss einer
> surjektiven und injektive Abbildung immer die Nullgruppe
> ist.
> Liegt das daran, dass [mm]im(f_{n+1})=ker(f_n)[/mm] ist?
>
Was meinst du hier mit Einschluss? Du brauchst ja bloß eine der Aussagen. Man kann die Äquivalenz schnell zeigen:
1) [mm] f_{n+1} surjektiv \gdw f_{n}=0 [/mm] folgt sofort aus [mm]ker(f_{n})=Bild (f_{n+1}) [/mm]
2) Und die unteren beiden sind äquivalent wegen:
[mm] f_{n}=0 \gdw ker(f_{n+1})=0 \gdw f_{n+1} injektiv[/mm]
Die letzte Aussage zu beweisen ist auch nicht viel schwieriger.
Beste Grüße,
Berieux
> Liebe Grüße,
> Joan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:52 So 04.12.2011 | | Autor: | Joan2 |
Hallo,
danke für die Erklärung. Kann ich für die zwweite Aussage:
Ist $ [mm] f_{n+2} [/mm] $ surjektiv und $ [mm] f_{n-1} [/mm] $ injektiv, so ist $ [mm] A_n [/mm] $ = 0.
wie folgt zeigen:
[mm] f_{n+2} [/mm] surjektiv [mm] \gdw f_{n+1} [/mm] = 0 und surjektiv [mm] \gdw A_n [/mm] =0?
Ich bin mir immer unsicher, ob das, was ich versuche immer zu beweise auch richtig ist.
Gruß
Joan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 So 04.12.2011 | | Autor: | Berieux |
Hi!
> Hallo,
>
> danke für die Erklärung. Kann ich für die zwweite
> Aussage:
> Ist [mm]f_{n+2}[/mm] surjektiv und [mm]f_{n-1}[/mm] injektiv, so ist [mm]A_n[/mm] = 0.
> wie folgt zeigen:
>
> [mm]f_{n+2}[/mm] surjektiv [mm]\gdw f_{n+1}[/mm] = 0 und surjektiv [mm]\gdw A_n[/mm]
> =0?
>
Dass das hier nicht ganz stimmen kann, kannst du doch schon daran erahnen, dass du nicht alle Voraussetzungen benutzt hast.
Da [mm]f_{n+2}[/mm] surjektiv ist, ist [mm]f_{n+1}=0[/mm], also ist wegen der Exaktheit [mm]f_{n}[/mm] injektiv. Da aber auch [mm]f_{n-1}[/mm] injektiv ist, ist [mm]Bild(f_{n})=0[/mm]. Da [mm]ker(f_{n})=0[/mm], ist [mm]A_{n}\cong Bild(f_{n}) [/mm].
> Ich bin mir immer unsicher, ob das, was ich versuche immer
> zu beweise auch richtig ist.
>
> Gruß
> Joan
Grüße,
Berieux
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:44 So 04.12.2011 | | Autor: | Joan2 |
Achso... Alles benutzen macht schon mehr Sinn :)
Vielen, vielen Dank für die Erklärungen.
Liebe Grüße
Joan
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