existiert Integral? < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:23 Sa 08.04.2006 | | Autor: | sir123 |
| Aufgabe | | Die Funktion f sei R-integrierbar im Intervall [0,1], differenzierbar an [mm] x_0=0 [/mm] und es sei f(0)=0. Man beweise, dass das Integral [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) x^{ \alpha} dx} [/mm] für jedes [mm] \alpha [/mm] > -2 existiert. |
Hallo,
ja ich stocke bei dieser aufgabe etwas.
habe zwar schon ein paar ideen, weiss aber noch nicht alle (3) "hinweise" der aufgabenstellung zu nutzen.
es muss mir ja irgendwie gelingen den exponenten zu [mm] \alpha+1 [/mm] zu erhöhen, da [mm] \integral_{0}^{1}{x^{ \alpha} dx} [/mm] ja für [mm] \alpha [/mm] > -1 konvergiert.
könnt ihr mir weiterhelfen.
mfg und danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:00 So 09.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Die Funktion f sei R-integrierbar im Intervall [0,1],
> differenzierbar an [mm]x_0=0[/mm] und es sei f(0)=0. Man beweise,
> dass das Integral [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) x^{ \alpha} dx}[/mm]
> für jedes [mm]\alpha[/mm] > -2 existiert.
> Hallo,
>
> ja ich stocke bei dieser aufgabe etwas.
> habe zwar schon ein paar ideen, weiss aber noch nicht alle
> (3) "hinweise" der aufgabenstellung zu nutzen.
> es muss mir ja irgendwie gelingen den exponenten zu
> [mm]\alpha+1[/mm] zu erhöhen, da [mm]\integral_{0}^{1}{x^{ \alpha} dx}[/mm]
> ja für [mm]\alpha[/mm] > -1 konvergiert.
>
> könnt ihr mir weiterhelfen.
Versuch es dochmal so: Erstmal reicht es ja zu zeigen, dass das Integral [mm] $\int_0^\delta [/mm] f(x) [mm] x^\alpha \; [/mm] dx$ fuer irgendein (beliebig kleines) [mm] $\delta [/mm] > 0$ konvergiert.
Dann ist $f$ in $0$ diffbar und $f(0) = 0$. Das bedeutet ja, dass du $f$ nahe bei $0$ schreiben kannst als $f(x) = f'(0) x + [mm] \varphi(x) [/mm] x$, wobei [mm] $\varphi$ [/mm] eine um $0$ stetige Funktion mit [mm] $\varphi(0) [/mm] = 0$ ist. Also ist [mm] $x^\alpha [/mm] f(x) = (f'(0) + [mm] \varphi(x)) x^{\alpha\red-1}$, [/mm] $x [mm] \neq [/mm] 0$ in einer Umgebung von $0$.
<edit>Korrektur: In der letzten Zeile soll es [mm] $x^{\alpha\green+1}$ [/mm] und nicht [mm] $x^{\alpha\red-1}$ [/mm] heissen!</edit>
Kommst du damit weiter?
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:09 So 09.04.2006 | | Autor: | sir123 |
danke!
also mir sagt diese formal f(x) = f'(0) x + [mm] \varphi(x) [/mm] x' zwar was, aber ich weiss nicht was darin x' zu bedeuten hat?
sorry, hatte mich eben mit dem editor vertan, post von davor kann gelöscht werden.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:29 So 09.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> also mir sagt diese formal f(x) = f'(0) x + [mm]\varphi(x)[/mm] x'
> zwar was,
Das ist die Definition von Differenzierbar in 0 :)
> aber ich weiss nicht was darin x' zu bedeuten hat?
In meinem Posting war es kein x', sondern ein Komma nach dem x.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:46 So 09.04.2006 | | Autor: | sir123 |
man bin ich bescheuert! sorry
ja ich kenne diese funktion (näherungsfunktion), bloß ich kenne diese nur als f(x)=f'(0)x+h(x) aber ohne h(x)*x und dann ist mir nicht verständlich wie dann nachher [mm] x^{\alpha}f(x)=...x^{\alpha-1}, [/mm] es müsste doch eigentlich +1 sein, da ich ja "vorne" x ausklammere??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:55 So 09.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ja ich kenne diese funktion (näherungsfunktion), bloß ich
> kenne diese nur als f(x)=f'(0)x+h(x) aber ohne h(x)*x und
Eure Funktion $h(x)$ wird sicher noch ein paar spezielle Voraussetzungen erfuellen. Etwa das [mm] $\frac{h(x)}{x} \to [/mm] 0$ fuer $x [mm] \to [/mm] 0$. Sprich, mit $g(x) := [mm] \frac{h(x)}{x}$ [/mm] fuer $x [mm] \neq [/mm] 0$ und $g(0) = 0$ hast du dann $f(x) = f'(0) x + h(x) = f'(0) x + g(x) x$ mit einer in $0$ stetigen Funktion $g$.
> dann ist mir nicht verständlich wie dann nachher
> [mm]x^{\alpha}f(x)=...x^{\alpha-1},[/mm] es müsste doch eigentlich
> +1 sein, da ich ja "vorne" x ausklammere??
Sorry, da hatte ich mich vertippt; ja es muss $+1$ sein!
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:04 So 09.04.2006 | | Autor: | sir123 |
ja, dass hab ich jetzt verstanden.
so deine meine "lösung":
[mm] x^{\alpha+1} [/mm] ist r-intbar und f'(0)+phi(x) ist auch r-intbar, da phi(x) eine stetige funktion und f'(0) ist ein "wert"
und da da produkt zweier r-intbarer funktionen r-intbar ist, existiert das integral??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:44 So 09.04.2006 | | Autor: | sir123 |
na, kann mir noch jemand weitehelfen??
wäre echt cool.
mfg
sir123
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Mi 12.04.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
