existiert das Integral? < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:47 Di 08.01.2008 | | Autor: | ONeill |
| Aufgabe | Man überprüfe, welches der Nachfolgenden Integrale existiert:
[mm] a.)\integral_{\infty}^{0}{sin(x) dx}
[/mm]
[mm] b.)\integral_{\infty}^{1}{\bruch{1}{x^2+ln(x)} dx}
[/mm]
c.) [mm] \integral_{1}^{0}{\bruch{sin(x)}{x} dx} [/mm] |
Hallo!
Bei den oben genannten Aufgaben habe ich Probleme.
a.) Da sin(x) eine periodische Funktion ist und zwischen +/- 1 alterniert bildet sich kein Grenzwert und somit kann ich das uneigentliche Integral nicht bestimmen, richtig?
b.)Ich weiß nicht wie ich das Integrieren soll...partielle Integration oder Substitution? Habe beides probiert, ohne Ergebnis.
c.)Da ein x im Nenner steht würde ich mal sagen, dass mit steigenden x Werten sich ein Grenzwert bildet und somit das Integral existiert, aber auch hier schaffe ich nicht den Therm zu integrieren.
Kann da jemand weiterhelfen? Viele Dank für die Mühe!
Gruß ONeill
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:00 Di 08.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo ONeill!
Bei Aufgabe a.) solltest Du das aber auch vielleicht rechnerisch zeigen:
[mm] $$\integral_{\infty}^{0}{\sin(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] -\integral_{0}^{\infty}{\sin(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] -\limes_{A\rightarrow\infty}\integral_{0}^{A}{\sin(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] -\limes_{A\rightarrow\infty}\left[ \ -\cos(x) \ \right]_{0}^{A} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:00 Di 08.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo ONeill!
Steht da im Nenner tatsächlich ein Pluszeichen oder nicht doch ein Malzeichen?
Gruß
Loddar
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Es ist gar nicht deine Aufgabe, die Integration durchzuführen, sondern nur eine Aussage über die Existenz des Integrals zu treffen.
a) geklärt
>
> [mm]b.)\integral_{\infty}^{1}{\bruch{1}{x^2+ln(x)} dx}[/mm]
=[mm]-\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x^2+ln(x)} dx}[/mm]
Weil [mm] x^2 [/mm] und ln(x) beide positiv sind und damit auch der Integrand, ist
[mm]-F(t)=\integral_{1}^{t}{\bruch{1}{x^2+ln(x)} dx}[/mm] eine in t monoton steigende Funktion. Es ist nur noch zu zeigen, dass es hierfür eine obere Schranke gibt, dann muss [mm] \limes_{t\rightarrow\infty} [/mm] -F(t) und damit das Integral existieren.
Nun ist aber [mm]\integral_{1}^{t}{\bruch{1}{x^2+ln(x)} dx}<\integral_{1}^{t}{\bruch{1}{x^2} dx}=-1/x [/mm] von 1 bis t = 1-1/t und damit
[mm]\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x^2+ln(x)} dx}<1[/mm]
> c.)
> [mm]\integral_{1}^{0}{\bruch{sin(x)}{x} dx}[/mm]
Der Integrand ist ebenfalls positiv, außerdem existiert der Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{sin(x)}{x}=1. [/mm] Die Integrandenfunktion ist stetig und beschränkt und positiv, daher ist die Integralfunktion wie oben definiert und monoton steigend, aber beschränkt, also existiert sie.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Mi 09.01.2008 | | Autor: | ONeill |
Schönen Dank euch beiden für die Hilfe!
Gruß ONeill
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