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| Aufgabe | [mm] exp(x^{2})-x^{2}=5
[/mm]
Wieviel lösungen hat die gleichung? beweisen sie ihre Lösung. |
ok, lässt man sich die gleichung zeichnen sieht man, dass es eine parabel ist, die ihren tiefpunkt unterhalb der x-achse hat --> 2 nullstellen --> 2 lösungen
der beweis is nicht so schwer, Tiefpunkt (0 ,-4) berechenen, schauen, ob die Ableitung für x<0 negativ ist und für x>0 positiv.
so, ich weiß also, dass die Funktion für x>0 steigt, wie kann ich sicher sein, dass sie auch wirklich durch die x-Achse geht und nicht irgendwie nur annähert?
[mm] exp(x^{2})-x^{2}-5=0 [/mm] kann man nicht so ohne weiteres lösen. (hab es schon über viele wege versucht...)
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> [mm]exp(x^{2})-x^{2}=5[/mm]
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> Wieviel lösungen hat die gleichung? beweisen sie ihre
> Lösung.
> ok, lässt man sich die gleichung zeichnen sieht man, dass
> es eine parabel ist, die ihren tiefpunkt unterhalb der
> x-achse hat --> 2 nullstellen --> 2 lösungen
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> der beweis is nicht so schwer, Tiefpunkt (0 ,-4)
> berechenen, schauen, ob die Ableitung für x<0 negativ ist
> und für x>0 positiv.
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> so, ich weiß also, dass die Funktion für x>0 steigt, wie
> kann ich sicher sein, dass sie auch wirklich durch die
> x-Achse geht und nicht irgendwie nur annähert?
Wo ist das Problem? Es ist doch [mm] $\lim_{x\rightarrow \pm\infty}(\mathrm{e}^{x^2}-x^2)=+\infty$.
[/mm]
> [mm]exp(x^{2})-x^{2}-5=0[/mm] kann man nicht so ohne weiteres
> lösen. (hab es schon über viele wege versucht...)
Du musst ja nur angeben, wieviele Lösungen die Gleichung hat - nicht welche genauen Zahlen Lösungen sind.
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a:= [mm] x^2 [/mm] , [mm] a\ge0
[/mm]
[mm] exp(x^2)-x^2=5 \gdw [/mm] exp(a)=5+a
betrachtet die zwei Funktionen f(a)=exp(a) und g(a)=5+a im Intervall [mm] a\ge0
[/mm]
die Kurve von g(a) schneidet sich y-Achse im Punkt (0,5), und läuft weiter hoch mit der Steigung "1"
die Kurve von f(a) fängt an der Stelle (0,1) an. daraus folgt, die zwei Funktionen haben genau einen allgemeinen Punkt im Intervall [mm] a\ge0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] es gibt 2 lösungen [mm] x=\pm\wurzel{a}
[/mm]
^^
oder habe ich noch einen Weg
f(a):= exp(a)-a
[mm] d\bruch{f(a)}{da}=exp(a)-1>0 [/mm] für alle a>0
[mm] \Rightarrow [/mm] f(a) streng monoton steigend
[mm] \Rightarrow [/mm] f(a)=5 hat genau eine positive Lösung
[mm] \Rightarrow exp(x^2)-x^2=5 [/mm] hat zwei Lösungen [mm] x=\pm\wurzel{a}
[/mm]
^^
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:09 Do 17.01.2008 | | Autor: | Kreide |
wie hast du den tiefpunkt berechnet ?
f(x) ´ = [mm] 2xe^{x^{2}}-2x [/mm] f(x) ´ =0 für x=0
f(x) ´´ = [mm] e^{x^{2}}(4x^{2}+2)-2
[/mm]
f(0) ´´ = 0
Das kriterium für einen Tiefpunkt lautet doch f(0) ´´> 0 ??? f(0) ´´ = 0 ist doch ein Kriterium für nen sattelpunkt,
ich weiß es muss ein tiefpunkt sein (laut taschenrechener) aber rechnerisch klappt es nisch so wörklcih
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 Do 17.01.2008 | | Autor: | Blech |
> wie hast du den tiefpunkt berechnet ?
>
> f(x) ´ = [mm]2xe^{x^{2}}-2x[/mm] f(x) ´ =0 für x=0
> f(x) ´´ = [mm]e^{x^{2}}(4x^{2}+2)-2[/mm]
> f(0) ´´ = 0
>
> Das kriterium für einen Tiefpunkt lautet doch f(0) ´´> 0
> ??? f(0) ´´ = 0 ist doch ein Kriterium für nen
> sattelpunkt,
Das Kriterium ist notwendig, aber nicht hinreichend. Für einen Sattelpunkt müßte die dritte Ableitung ungleich 0 sein. Bzw. Du siehst es auch daran, daß die zweite Ableitung links und rechts vom Tiefpunkt >0 ist.
Das beantwortet btw. auch Deine Frage, woher wir wissen, daß die Funktion sich nicht einer waagrechten Asymptote y<5 annähert.
Die zweite Ableitung ist überall (außer bei 0) größer 0, also steigt (bzw. fällt) die Funktion immer schneller, je weiter wir von 0 wegkommen.
[mm] $\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=\infty$ [/mm] funktioniert natürlich auch und basiert auf der gleichen Argumentation.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Do 17.01.2008 | | Autor: | Kreide |
ok, danke für deine antowrt, das mit der ableitung rechts und links vom punkt hab ich auch schon gemacht, klappt auch sehr gut, dann wüsste ich ja eigentlich schon dass die funktion im punkt (0,-4) einen tiefpunkt hat, aber so müsste es doch auch gehen:
> > TIEFPUNKTBERECHNUNG:
> [mm] >f(x)=xe^{x^{2}}-x^{2}-5
[/mm]
> > f(x) ´ = [mm]2xe^{x^{2}}-2x[/mm] f(x) ´ =0 für x=0
> > f(x) ´´ = [mm]e^{x^{2}}(4x^{2}+2)-2[/mm]
> > f(0) ´´ = 0
hab ich mich verrechnet? es MUSS doch klappen!!!! f (0) ´´ >0 (das muss rauskommen !!!)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 Do 17.01.2008 | | Autor: | Blech |
> ok, danke für deine antowrt, das mit der ableitung rechts
> und links vom punkt hab ich auch schon gemacht, klappt auch
> sehr gut, dann wüsste ich ja eigentlich schon dass die
> funktion im punkt (0,-4) einen tiefpunkt hat, aber so
> müsste es doch auch gehen:
> > > TIEFPUNKTBERECHNUNG:
> > [mm]>f(x)=xe^{x^{2}}-x^{2}-5[/mm]
> > > f(x) ´ = [mm]2xe^{x^{2}}-2x[/mm] f(x) ´ =0 für x=0
> > > f(x) ´´ = [mm]e^{x^{2}}(4x^{2}+2)-2[/mm]
> > > f(0) ´´ = 0
> hab ich mich verrechnet? es MUSS doch klappen!!!! f (0) ´´
> >0 (das muss rauskommen !!!)
Nein. $f''(0)=0$ das stimmt schon, ich hatte doch schon gesagt, daß es dennoch kein Sattelpunkt ist, weil $f'''(0)=0$.
Lies Dir ![[]](/images/popup.gif) hier mal das allgemeine Kriterium durch. In unserem Fall ist [mm] $f^{(4)}(0)>0$ [/mm] und damit ist's ein Minimum. Wesentlich einfacher geht's, wenn Du einfach die erste oder zweite Ableitung links oder rechts neben dem Punkt betrachtest.
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