exp < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:36 Mi 09.06.2010 | | Autor: | luna90 |
hallo...
ich habe probleme damit, [mm] \limes_{j\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{j} \bruch{n!}{(n-k)!n^{k}}*\bruch{x^{k}}{k!}=exp(x) [/mm] mit [mm] x\ge [/mm] 0 und [mm] n\ge [/mm] j zu zeigen.
ich habe jetz begonnen mit:
[mm] \limes_{j\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{j} \bruch{n!}{(n-k)!n^{k}}*\bruch{x^{k}}{k!} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{n!}{(n-k)!n^{k}}*\bruch{x^{k}}{k!}
[/mm]
weiterhin gilt:
[mm] \bruch{n!}{(n-k)!n^{k}} [/mm] = [mm] \produkt_{l=1}^{k-1}\bruch{n-l}{n} \ge (\bruch{n-k+1}{n})^{k} \ge (\bruch{n-k}{n})^{k} [/mm] = [mm] (1-\bruch{k}{n})^{k} \overbrace{Bernoulli-Ungl.}^{\ge} 1-\bruch{k}{n}*k [/mm] = [mm] 1-\bruch{k^{2}}{n}
[/mm]
so nun ist meine frage, ob sich das [mm] \ge [/mm] wegen dem minuszeichen in der klammer auch umdreht zu [mm] \le [/mm] . ansonsten wüsste ich nicht, wie ich nun weiter abschätzen könnte, sodass der ausdruck nicht mehr von k abhängt und gegen 1 konvergiert. ich hoffe, dass mir jemand helfen kann. vielen dank für die hilfe.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:51 Mi 09.06.2010 | | Autor: | abakus |
> hallo...
>
> ich habe probleme damit,
> [mm]\limes_{j\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{j} \bruch{n!}{(n-k)!n^{k}}*\bruch{x^{k}}{k!}=exp(x)[/mm]
> mit [mm]x\ge[/mm] 0 und [mm]n\ge[/mm] j zu zeigen.
>
Hallo,
ich würde hier einfach mal ein wenig umsortieren:
[mm] \bruch{n!}{(n-k)!n^{k}}*\bruch{x^{k}}{k!}= \bruch{n!}{(n-k)!k!}*\bruch{x^{k}}{n^{k}}=\vektor{n \\ k}(\bruch{x}{n})^k
[/mm]
Letzteres kannst du noch mit [mm] 1^{irgendwas} [/mm] multiplizieren, ohne dass der Wert des Terms sich ändert.
Gruß Abakus
> ich habe jetz begonnen mit:
>
> [mm]\limes_{j\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{j} \bruch{n!}{(n-k)!n^{k}}*\bruch{x^{k}}{k!}[/mm]
> = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{n!}{(n-k)!n^{k}}*\bruch{x^{k}}{k!}[/mm]
>
> weiterhin gilt:
>
> [mm]\bruch{n!}{(n-k)!n^{k}}[/mm] =
> [mm]\produkt_{l=1}^{k-1}\bruch{n-l}{n} \ge (\bruch{n-k+1}{n})^{k} \ge (\bruch{n-k}{n})^{k}[/mm]
> = [mm](1-\bruch{k}{n})^{k} \overbrace{Bernoulli-Ungl.}^{\ge} 1-\bruch{k}{n}*k[/mm]
> = [mm]1-\bruch{k^{2}}{n}[/mm]
>
> so nun ist meine frage, ob sich das [mm]\ge[/mm] wegen dem
> minuszeichen in der klammer auch umdreht zu [mm]\le[/mm] . ansonsten
> wüsste ich nicht, wie ich nun weiter abschätzen könnte,
> sodass der ausdruck nicht mehr von k abhängt und gegen 1
> konvergiert. ich hoffe, dass mir jemand helfen kann. vielen
> dank für die hilfe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Mi 09.06.2010 | | Autor: | luna90 |
ja also ich weiß, dass [mm] \summe_{k=1}^{j}\bruch{n!}{(n-k)!n^{k}} \le (1+\bruch{x}{n})^{n} [/mm] ist. das habe ich schon gezeigt. im prinzip soll ich zeigen, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{x}{n})^{n}=exp(x) [/mm] ist. dazu habe ich dies nach oben und unten abgeschätzt. die obere abschätzung konvergiert schön gegen exp(x). nur die untere macht mir jetzt hier probleme. deswegen soll [mm] \summe_{k=1}^{j}\bruch{n!}{(n-k)!n^{k}} [/mm] auch gegen exp(x) konvergieren. dann hätte ich die aufgabe ja gelöst...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:17 Mi 09.06.2010 | | Autor: | abakus |
> ja also ich weiß, dass
> [mm]\summe_{k=1}^{j}\bruch{n!}{(n-k)!n^{k}} \le (1+\bruch{x}{n})^{n}[/mm]
> ist. das habe ich schon gezeigt. im prinzip soll ich
> zeigen, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{x}{n})^{n}=exp(x)[/mm] ist.
> dazu habe ich dies nach oben und unten abgeschätzt. die
> obere abschätzung konvergiert schön gegen exp(x). nur die
> untere macht mir jetzt hier probleme. deswegen soll
> [mm]\summe_{k=1}^{j}\bruch{n!}{(n-k)!n^{k}}[/mm] auch gegen exp(x)
> konvergieren. dann hätte ich die aufgabe ja gelöst...
Na ja, wenn j schon gegen unendlich läuft - was spielt dann die Einschränkung j<n noch für eine Rolle?
(Das ist nur so intuitiv dahergesagt - ich weiß im Moment nicht, wie man streng mathematisch argumentieren muss.)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 Mi 09.06.2010 | | Autor: | luna90 |
naja ich soll irgendwie von [mm] \limes_{j\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{j}\bruch{n!}{(n-k)!n^{k}}*\bruch{x^{k}}{k!} [/mm] auf [mm] (1-\bruch{1}{n})*\summe_{k=1}^{n}\bruch{x^{k}}{k!} [/mm] kommen, sodass das für [mm] n->\infty [/mm] gegen exp(x) konvergiert. dazu soll mir die bernoulli-ungleichung helfen...
|
|
|
| |
|
Hallo luna90,
der "Trick" besteht in einer zweiten Abschätzung, nämlich von [mm] \left(1+\bruch{x}{n}\right)^{n\red{+1}}.
[/mm]
Das ist nämlich monoton fallend.
So kannst Du zeigen, dass dein Grenzwert zugleich kleiner/gleich und größer/gleich [mm] e^x [/mm] ist, also...
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Do 10.06.2010 | | Autor: | luna90 |
ich glaube, dass hilft mir nicht so recht weiter. laut aufgabenstellung soll ich: zeigen Sie, dass für [mm] x\ge [/mm] 0 die Identität [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{x}{n})^{n}=exp(x). [/mm] hinweis: zeige zunächst [mm] (1+\bruch{x}{n})^{n}\le \summe_{k=0}^{n}\bruch{x^{k}}{k!}. [/mm] danach, dass für [mm] n\ge [/mm] j immer [mm] (1+\bruch{x}{n})^{n}\ge \summe_{k=0}^{j}\bruch{n!}{(n-k)!n^{k}}\bruch{x^{k}}{k!}. [/mm]
dies habe ich schon gezeigt und nun muss ich noch zeigen, dass die beiden abschätzungen gegen exp(x) konvergieren. jedoch weiß ich bei der abschätzung nach unten nicht, wie ich das machen soll. es geht irgendwie mit bernoulli und den anfang meiner rechnung habe ich in meiner ersten frage schon geposted. wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte... vielen dank
|
|
|
| |
|
Hallo Luna,
auch schön, endlich mal die Aufgabenstellung ganz einzustellen.
Wo allerdings das Problem wirklich liegt, habe ich bisher nicht erkennen können, obwohl ich die ganze Diskussion gelesen habe.
Und wieso mein Tipp nicht weiterhilft, verstehe ich auch nicht.
Das Relationszeichen der ![[]](/images/popup.gif) Bernoulli-Ungleichung kannst Du jedenfalls nicht "umdrehen". Sie gilt für [mm] x\ge{-1}, [/mm] und damit auch für Dein [mm] -\tfrac{k}{n} [/mm] mit [mm] k\le{n}.
[/mm]
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:43 Do 10.06.2010 | | Autor: | luna90 |
ok dann ist meine abschätzung bisher wohl richtig. wie kann ich nun [mm] 1-\bruch{k^{2}}{n} [/mm] weiter abschätzen. es wäre ja gut, wenn da sowas wie [mm] 1-\bruch{1}{n} [/mm] oder so rauskommt. wenn dann [mm] n->\infty [/mm] läuft geht das ja gegen eins und dann würde es komplett für [mm] n->\infty [/mm] gegen exp(x) laufen. obwohl ich auch noch nicht weiß, wie ich von [mm] \limes_{j\rightarrow\infty} [/mm] auf [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] kommen kann...
vielen dank für die geduld
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:20 Fr 11.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
