exp Lipschitz-stetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:12 Sa 01.10.2011 | | Autor: | GK13 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Exponentialfunktion nicht L-stetig ist. |
Hey!
Ich habe einen Beweis, jedoch eine Frage dazu:
Ann.: |exp(x)-exp(y)| [mm] \le [/mm] L|x-y|
(y=0) => |exp(x)-1| [mm] \le [/mm] L|x|
(x>0) => [mm] |\bruch{exp(x)-1}{x}| \le [/mm] L
und da [mm] |\bruch{exp(x)-1}{x}| [/mm] --> [mm] \infty [/mm] WIDERSPRUCH!
Okay.. an sich verstehe ich alles, allerdings wollte ich fragen, ob ich bei Lipschitz Stetigkeit meine x und y immer wählen will, wie ichs gern hätte.. ich weiß, es muss ja [mm] \forall [/mm] x,y gelten, aber ich dachte es muss für jedes x gelten.. d.h. ich kann mir mein x wählen, aber dann kann ich nicht zusätzlich noch mein y wählen.
Scheinbar kann ich es aber; meine Frage ist also: Kann ich das immer, oder hab ich hier irgendwas übersehen, wodurch es möglich wird?
Wenn ich also in der Klausur etwas auf L-Stetigkeit überprüfen muss, wähle ich mir meine x,y einfach passend?!
Lg!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Sa 01.10.2011 | | Autor: | Helbig |
Die Negation von "für alle Paare (x, y) gilt ..." ist ja "für ein Paar (x, y) gilt nicht ...". Wenn Du also nachweisen willst, dass eine Funktion $f$ nicht L-stetig ist, reicht es, zu einem beliebigen $L$ ein Paar $(x,y)$ anzugeben, so daß $|f(x)-f(y)|>L$ ist. Das $y$ hast Du direkt angegeben, das $x$ indirekt über die Grenzwertaussage.
viel Erfolg,
Wolfgang
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