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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:33 So 11.03.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Funktion f(x)= [mm] e^{-x} [/mm] - [mm] \frac{e^{-x}}{x}
[/mm]
Bestimme die Extrema |
f'(x) = [mm] \frac{e^{-x}}{x^2} [/mm] * [mm] (-x^2+x+1)
[/mm]
f'(x)=0
[mm] \frac{e^{-x}}{x^2} [/mm] * [mm] (-x^2+x+1)=0
[/mm]
Produktnullsatz:
[mm] x^2-x-1=0
[/mm]
[mm] x_{1,2} [/mm] = [mm] \frac{1 \pm\wurzel{5}}{2}
[/mm]
[mm] \frac{e^{-x}}{x^2}=0
[/mm]
[mm] e^{-x} [/mm] =0
-x = log(0)
Undefiniert! Lese ich aus dem schon heraus, dass 0 eine Polstelle ist oder sagt mir das einfach gar nichts wenn es undefiniert ist?
[mm] f(\frac{1 +\wurzel{5}}{2})= e^{\frac{1-\wurzel{5}}{2}} [/mm] - [mm] \frac{2 e^{\frac{1-\wurzel{5}}{2}}}{1+\wurzel{5}}
[/mm]
Ich hab versucht log anzuwenden.
[mm] log(f(\frac{1 +\wurzel{5}}{2}))=log(e^{\frac{1-\wurzel{5}}{2}} [/mm] - [mm] \frac{2 e^{\frac{1-\wurzel{5}}{2}}}{1+\wurzel{5}})
[/mm]
Ich weiß jedoch nicht genau was ich nun machen darf und was nicht, könnte mir da wer kurz helfen?
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Hallo quasimo,
> Funktion f(x)= [mm]e^{-x}[/mm] - [mm]\frac{e^{-x}}{x}[/mm]
> Bestimme die Extrema
> f'(x) = [mm]\frac{e^{-x}}{x^2}[/mm] * [mm](-x^2+x+1)[/mm]
> f'(x)=0
> [mm]\frac{e^{-x}}{x^2}[/mm] * [mm](-x^2+x+1)=0[/mm]
> Produktnullsatz:
> [mm]x^2-x-1=0[/mm]
> [mm]x_{1,2}[/mm] = [mm]\frac{1 \pm\wurzel{5}}{2}[/mm]
> [mm]\frac{e^{-x}}{x^2}=0[/mm]
> [mm]e^{-x}[/mm] =0
> -x = log(0)
> Undefiniert! Lese ich aus dem schon heraus, dass 0 eine
> Polstelle ist oder sagt mir das einfach gar nichts wenn es
> undefiniert ist?
>
Das sagt Dir , daß es keine Lösung für diese Gleichung gibt.
> [mm]f(\frac{1 +\wurzel{5}}{2})= e^{\frac{1-\wurzel{5}}{2}}[/mm] -
> [mm]\frac{2 e^{\frac{1-\wurzel{5}}{2}}}{1+\wurzel{5}}[/mm]
> Ich hab
> versucht log anzuwenden.
>
> [mm]log(f(\frac{1 +\wurzel{5}}{2}))=log(e^{\frac{1-\wurzel{5}}{2}}[/mm]
> - [mm]\frac{2 e^{\frac{1-\wurzel{5}}{2}}}{1+\wurzel{5}})[/mm]
>
> Ich weiß jedoch nicht genau was ich nun machen darf und
> was nicht, könnte mir da wer kurz helfen?
Um den Funktionswert an den Extremalstellen zu berechnen,
brauchst Du log nicht anwenden,
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 So 11.03.2012 | | Autor: | quasimo |
hallo
[mm] f(\frac{1 +\wurzel{5}}{2})= e^{\frac{1-\wurzel{5}}{2}}- \frac{2 e^{\frac{1-\wurzel{5}}{2}}}{1+\wurzel{5}}
[/mm]
= (1+ [mm] \wurzel{5} [/mm] -2) * [mm] \frac{e^{\frac{1-\wurzel{5}}{2}}}{1+ \wurzel{5}}
[/mm]
=(-1 + [mm] \wurzel{5}) *\frac{e^{\frac{1-\wurzel{5}}{2}}}{1+ \wurzel{5}}
[/mm]
Wie tuhe ich weiter?
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Hallo quasimo,
> hallo
>
> [mm]f(\frac{1 +\wurzel{5}}{2})= e^{\frac{1-\wurzel{5}}{2}}- \frac{2 e^{\frac{1-\wurzel{5}}{2}}}{1+\wurzel{5}}[/mm]
>
> = (1+ [mm]\wurzel{5}[/mm] -2) *
> [mm]\frac{e^{\frac{1-\wurzel{5}}{2}}}{1+ \wurzel{5}}[/mm]
> =(-1 +
> [mm]\wurzel{5}) *\frac{e^{\frac{1-\wurzel{5}}{2}}}{1+ \wurzel{5}}[/mm]
>
Den Nenner kannst Du noch rational machen,
in dem Du mit [mm]\bruch{-\wurzel{5}+1}{-\wurzel{5}+1}[/mm] erweiterst.
> Wie tuhe ich weiter?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 So 11.03.2012 | | Autor: | quasimo |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo ich hatte einen Vorzeichenfehler drinnen.
f(x)= $ e^{-x} $ - $ \frac{e^{-x}}{x}} $
f(\frac{1 +\wurzel{5}}{2})= e^{\frac{-1-\wurzel{5}}{2}}-\frac{2 e^{\frac{-1-\wurzel{5}}{2}}}{1+\wurzel{5}} = (-1+ \wurzel{5} $ -2) * \frac{e^{\frac{-1-\wurzel{5}}{2}}}{1+ \wurzel{5}}=(-1+\wurzel{5}) \cdot{}\frac{e^{\frac{-1-\wurzel{5}}{2}}}{1+ \wurzel{5}} = \frac{(- \wurzel{5}+1)*(-1+\wurzel{5}) * e^{\frac{-1-\wurzel{5}}{2}}}{-4}=\frac{(2 \wurzel{5}-6) * e^{\frac{-1-\wurzel{5}}{2}}}{-4}=\frac{( \wurzel{5}-3) * e^{\frac{-1-\wurzel{5}}{2}}}{-2}
Ich hoffe ich hab mich nicht verrechnet, kann ich noch was vereinfachen? Oder kann ich das so als y-Wert stehen lassen?
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Hallo!
Nachgerechnet habe ich es nicht, aber weiter vereinfachen kannst du das auch wieder nicht. Ich würde das höchstens in den Taschenrechner eintippen, um nen ungefähren Wert für den Ausdruck anzugeben.
Denk an die zweite Lösung!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:16 Mo 12.03.2012 | | Autor: | quasimo |
Ja klar !!
Ich hätte noch eine Frage..
Ich muss noch die Wendestelle ausrechnen
f''(x) = [mm] \frac{(-x^2+x^3-2x-2)*e^{-x}}{x^3}
[/mm]
f''(x)=0
0 = [mm] \frac{(-x^2+x^3-2x-2)e^{-x}}{x^3}
[/mm]
0= [mm] -x^2 [/mm] + [mm] x^3 [/mm] - 2x - 2
Jetzt weiß ich nicht wie ich das ausrechnen soll.. denn das Näherungsverfahren oder wie das heißt, habe ich nie gelernt.
Und Polynomdivision funktioniert hier nicht.
Die ausgerechnete Wendestelle muss ich dann noch in die dritte Ableiten setzten und zeige, dass diese nicht 0 ist oder muss man nur bei den Extrema so verfahren?
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Hallo quasimo,
dir ist vermutlich beim Ableiten irgendwo ein Vorzeichenfehler unterlaufen. Ich bekomme für die zweite Ableitung
[mm] f''(x)=\bruch{x^3-x^2+2x-2}{x^3}*e^{-x}
[/mm]
und da kann man den Zähler vorne auf sehr einfachem Wege faktorisieren.
Rechne es doch auch nochmal nach, und wenn du dann auch auf mein Resultat kommst, schaue es mal so in der Gegend von x=1 ganz genau an. 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Mo 12.03.2012 | | Autor: | quasimo |
Servus ich habs nochmal überprüft und auch noch die Seite :http://funktion.onlinemathe.de/ zu Hilfe genommen. Ich glaub das stimmt schon so wie ich vorher geschrieben hatte.
f''(x) = $ [mm] \frac{(-x^2+x^3-2x-2)\cdot{}e^{-x}}{x^3} [/mm] $
=> Wendepunkt bei ( 2,2695 | 0,0578 )
Nur wie ich auf das komme ich die Frage^^
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:29 Mo 12.03.2012 | | Autor: | DM08 |
Indem du die Nullstellen der zweiten Ableitung untersuchst und diese dann in die Ausgangsfunktion setzt (im Normalfall).
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Mo 12.03.2012 | | Autor: | quasimo |
Ja das ist schon klar...
Aber setzte mal
f''(x) = $ [mm] \frac{(-x^2+x^3-2x-2)\cdot{}e^{-x}}{x^3} [/mm] $ gleich 0
[mm] 0=\frac{(-x^2+x^3-2x-2)\cdot{}e^{-x}}{x^3}
[/mm]
[mm] 0=(-x^2+x^3-2x-2)e^{-x}
[/mm]
Produknullsatz
[mm] 0=-x^2+x^3-2x-2
[/mm]
Wie soll ich nun die Nullstellen ausrechnen?
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Hallo quasimo,
> Ja das ist schon klar...
> Aber setzte mal
> f''(x) = [mm]\frac{(-x^2+x^3-2x-2)\cdot{}e^{-x}}{x^3}[/mm] gleich
> 0
>
> [mm]0=\frac{(-x^2+x^3-2x-2)\cdot{}e^{-x}}{x^3}[/mm]
> [mm]0=(-x^2+x^3-2x-2)e^{-x}[/mm]
>
> Produknullsatz
> [mm]0=-x^2+x^3-2x-2[/mm]
> Wie soll ich nun die Nullstellen ausrechnen?
Zum Beispiel mit dem Newton-Verfahren.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 Mo 12.03.2012 | | Autor: | quasimo |
Gibt es da keien andere Möglichkeit, den das haben wir "offiziell" noch nie gmacht.
Frage: nachdem ich den Wendepunkt bestimmt habe, muss ich ihn dann in die dritte Ableitung setzten um zu schauen ob es sich wirklich um einen Wendepunkt handelt und die Ableitung nicht 0 wird?
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Hallo quasimo,
> Gibt es da keien andere Möglichkeit, den das haben wir
> "offiziell" noch nie gmacht.
>
Natürlich kannst Du die Lösungen "zu Fuss" ausrechenen.
Diese Schritte erfordern einiges mehr an Rechenarbeit.
>
> Frage: nachdem ich den Wendepunkt bestimmt habe, muss ich
> ihn dann in die dritte Ableitung setzten um zu schauen ob
> es sich wirklich um einen Wendepunkt handelt und die
> Ableitung nicht 0 wird?
Eigentlich ja.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:23 Mo 12.03.2012 | | Autor: | quasimo |
Vielen lieben dank ;))
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:31 Mo 12.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich hab' nochmal [mm] $f''\,$ [/mm] nachgerechnet (und die Ergebnisse mit denen von Funkyplot verglichen!):
$$f(x)= [mm] e^{-x} [/mm] - [mm] \frac{e^{-x}}{x}\,,$$
[/mm]
[mm] $$f'(x)=-e^{-x}-\frac{-e^{-x}*x-e^{-x}*1}{x^2}=-e^{-x}\left(1-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)\,,$$
[/mm]
[mm] $$f''(x)=e^{-x}*\left(1-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)-e^{-x}*\left(\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x^3}\right)=e^{-x}*\left(1-\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}-\frac{2}{x^3}\right)\,.$$
[/mm]
Dann folgt $f''(x)=0 [mm] \gdw x^3-x^2-2x-2=0\,.$ [/mm] Mehr als das Newton-Verfahren oder die ![[]](/images/popup.gif) Cardanische Formeln fallen mir dazu auf die Schnelle nicht ein.
Vielleicht hat sich ja der Aufgabensteller - wie Diophant - verrechnet. Jedenfalls war Dein Wert [mm] $2.2....\,$ [/mm] wohl korrekt!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:31 Di 13.03.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo Marcel,
> Vielleicht hat sich ja der Aufgabensteller - wie Diophant -
> verrechnet. Jedenfalls war Dein Wert [mm]2.2....\,[/mm] wohl
> korrekt!
Genau so war es in meinem Fall: ich hatte mich verrechnet. Deine Ableitung stimmt natürlich.
Vielen Dank für die Korrektur&Viele Grüße,
Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:38 Mo 12.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gibt es da keien andere Möglichkeit, den das haben wir
> "offiziell" noch nie gmacht.
>
>
> Frage: nachdem ich den Wendepunkt bestimmt habe, muss ich
> ihn dann in die dritte Ableitung setzten um zu schauen ob
> es sich wirklich um einen Wendepunkt handelt und die
> Ableitung nicht 0 wird?
"müssen" ist da zuviel gesagt. Auch, wenn die Ableitung [mm] $0\,$ [/mm] werden würde, wäre es nicht ausgeschlossen, dass es da einen Wendepunkt gibt (betrachte $x [mm] \mapsto x^5$).
[/mm]
Du kannst hier auch mit "Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung an der betrachteten Stelle Überlegungen anstellen"... (Ich bin gerade zu faul dazu, würde es mal schnell nachschlagen. Aber man bekommt das auch schnell mit Skizzen zusammen...)
P.S.:
Von der Logik her:
Notwendig ist an einer Wendestelle (wenn eine Funktion hinreichend oft diff'bar ist), dass die zweite Ableitung dort verschwindet. Dass [mm] $f''(x_0)=0$ [/mm] ist, ist aber alleine noch nicht hinreichend dafür, dass [mm] $x_0$ [/mm] Wendestelle. Sondern: [mm] $f''(x_0)=0$ [/mm] und [mm] $f'''(x_0) \not=0$ [/mm] ist eine hinreichende Bedingung dafür, dass [mm] $x_0$ [/mm] Wendestelle ist (wenn [mm] $f\,$ [/mm] entsprechend hinreichend oft diff'bar ist).
Leider gilt aber auch i.a. nicht
[mm] "$x_0$ [/mm] Wendestelle [mm] $\Rightarrow$ $f''(x_0)=0$ [/mm] UND [mm] $f'''(x_0) \not=0\,,$"
[/mm]
sondern i.a. "nur"
[mm] "$x_0$ [/mm] Wendestelle [mm] $\Rightarrow$ $f''(x_0)=0\,.$"
[/mm]
Es ist schade, dass da keine Charakterisierungen stehen!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:09 Mo 12.03.2012 | | Autor: | DM08 |
Marcel hat schon alles gesagt, ich wollte dir nur noch sagen, dass $f''(x)=0 [mm] \gdw x=\bruch{1}{3}(1+\sqrt[3]{37-3\sqrt{114}}+\sqrt[3]{37+3\sqrt{114}})$.
[/mm]
Gruß
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