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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:26 Do 19.01.2012 | | Autor: | Gnocchi |
| Aufgabe | | Zeigen Sie [mm] (sin(\bruch{z}{2}))^{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(1-cos(z)z \in \IC [/mm] |
Hab jetzt folgenden Ansatz, aber ich glaube der ist falsch:
[mm] (sin(\bruch{z}{2}))^{2} [/mm] = [mm] \bruch{exp(i\bruch{z}{2})-exp(-i\bruch{z}{2}}){2i}*\bruch{exp(i\bruch{z}{2})-exp(-i\bruch{z}{2}}){2i}
[/mm]
[mm] =(\bruch{exp(i\bruch{z}{2}{2i}-exp(-i\bruch{z}{2}}*(\bruch{exp(i\bruch{z}{2}{2i}-exp(-i\bruch{z}{2}}{2i}
[/mm]
=1/4 (exp [mm] (i\bruch{z}{2}+i\bruch{z}{2}9 [/mm] - [mm] exp(i\bruch{z}{2}+i\bruch{z}{2}-exp(-i\bruch{z}{2}+i\bruch{z}{2}+exp exp(-i\bruch{z}{2}+i\bruch{z}{2}
[/mm]
Irgendwie hab ich nun irgendwo was falsch gemacht. die 2i sollen jeweils unter den Brüchen stehen.
Kann mir da jemand weiterhelfen oder evtl nen Ansatz geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:22 Do 19.01.2012 | | Autor: | chrisno |
Ich denke, DU bist auf dem richtigen Weg. Da ich nicht durchblicke, was Du genauer rechnest, habe ich die ersten Terme mal richtig formatiert
[mm](sin(\bruch{z}{2}))^{2}[/mm] =
[mm]\bruch{ exp(i \bruch{z}{2}) - exp(-i\bruch{z}{2})}{2i}
*\bruch{ exp(i \bruch{z}{2}) - exp(-i\bruch{z}{2})}{2i}[/mm]
Im nächsten Schritt kommen ein paar Fehler. Es gilt $exp(a) * exp(b) = exp(a+b)$
Berechne:
$exp( i [mm] \bruch{z}{2}) [/mm] * exp( i [mm] \bruch{z}{2})= [/mm] $
$exp( i [mm] \bruch{z}{2}) [/mm] * exp(-i [mm] \bruch{z}{2})= [/mm] $
$exp(-i [mm] \bruch{z}{2}) [/mm] * exp(-i [mm] \bruch{z}{2})= [/mm] $
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