www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseite > MatheForen > Uni-Sonstiges > expliz.Darstell.Parameterkurve
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Uni-Sonstiges" - expliz.Darstell.Parameterkurve
expliz.Darstell.Parameterkurve < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

expliz.Darstell.Parameterkurve: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:13 Fr 15.08.2008
Autor: tedd

Aufgabe
Skizzieren Sie den Graphen der folgenden Parameterkurve und bestimmen Sie die explizite Darstellung wenn möglich:
[mm] x(t)=sinh^2(t); y(t)=cosh^2(t) t\in\IR [/mm]

[]Der Graph ist eine Gerade mit der Steigung 1 die ihren Urspung in (0/1) hat also müsste ja eine simple Geradengelichung rauskommen, oder kann ich für die explizite Darstellung direkt schreiben:
y=x+1 mit [mm] x\in \IR^+ [/mm] ?

(Woran erkenne ich überhaupt ob eine explizite Darstléllung möglich ist?)

Die Rechnung ist nämlich relativ viel Schreiberei:

habe [mm] x(t)=sinh^2(t) [/mm] nach t aufgelöst:

[mm] \sqrt{x}=sinh(t) [/mm]
[mm] arsinh(\sqrt{x})=t [/mm]

und
[mm] arsinh(\sqrt{x})=ln\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right) [/mm]


dann in [mm] y=cosh^2(t) [/mm] einsetzen:

[mm] y=cosh^2(arsinh(\sqrt{x}))=\left(\bruch{1}{2}*e^{ln\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)}+\bruch{1}{2}*\bruch{1}{e^{-ln\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)}}\right)^2 [/mm]

[mm] y=\left(\bruch{\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)}{2}+\bruch{1}{2*\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)}\right)^2 [/mm]

Dann habe ich den Hauptnenner gebildet damit ich das alles auf einen Bruch schreiben kann:

[mm] y=\left(\bruch{2*\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)*\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)+2}{4*\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)}\right)^2 [/mm]

[mm] =\left(\bruch{\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)*\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)+1}{2*\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)}\right)^2 [/mm]

[mm] =\left(\bruch{x+\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2+x}+x+2}{2*\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)}\right)^2 [/mm]

[mm] =\left(\bruch{2*(x+\sqrt{x^2+x}+1)}{2*\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)}\right)^2 [/mm]

[mm] =\left(\bruch{x+\sqrt{x^2+x}+1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\right)^2 [/mm]

Jetzt könnte ich noch:

[mm] =\left(\bruch{\sqrt{x}*(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})+1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\right)^2 [/mm]

schreiben und dann:

[mm] y=\left(\sqrt{x}+\bruch{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\right)^2 [/mm]

um dann schließlich zu quadrieren:

[mm] y=x+\bruch{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}+\bruch{1}{2*\sqrt{x^2+x}+2*x+1} [/mm]

Das könnte ich das ja wieder auf einen Hauptnenner bringen und evtl so vereinfachen bis dann irgendwann meine Geradengleichung rauskommt.
ALso reicht das mit
y=x+1 mit [mm] x\in \IR^+ [/mm] um sich die Rechnerei hier zu sparen?
Danke und besten Gruß,
tedd [ok]
        
Bezug
expliz.Darstell.Parameterkurve: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:47 Fr 15.08.2008
Autor: Somebody


> Skizzieren Sie den Graphen der folgenden Parameterkurve und
> bestimmen Sie die explizite Darstellung wenn möglich:
>  [mm]x(t)=sinh^2(t); y(t)=cosh^2(t) t\in\IR[/mm]
>  
> []Der Graph
> ist eine Gerade mit der Steigung 1 die ihren Urspung in
> (0/1) hat also müsste ja eine simple Geradengelichung
> rauskommen, oder kann ich für die explizite Darstellung
> direkt schreiben:
>  y=x+1 mit [mm]x\in \IR^+[/mm] ?
>  
> (Woran erkenne ich überhaupt ob eine explizite Darstlellung
> möglich ist?)

Indem Du die Darstellung explizit zu machen versuchst ... und dabei Erfolg hast ;-)

> Die Rechnung ist nämlich relativ viel Schreiberei:

Nein, das geht, unter Verwendung von [mm] $\cosh^2(x)-sinh^2(x)=1$, [/mm] d.h. [mm] $\cosh^2(x)=\sinh^2(x)+1$, [/mm] in einer einzigen Zeile:

[mm]y=\cosh^2(t)=\sinh^2(t)+1=x+1[/mm]
Bezug
                
Bezug
expliz.Darstell.Parameterkurve: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:55 Fr 15.08.2008
Autor: tedd

Oh arghhh ...

Warum einfach, wenn's auch schwer geht.

[lichtaufgegangen]

Danke Somebody :D
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]