exponentialverteilte Z'grösse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Habe die Frage sonst nirgends gestellt.
Eine weitere Übung aus der Stochastikvorlesung Uni Zürich (Serie 7 Nr. 89)
Berechnen Sie den Erwartungswert einer mit Parameter [mm] \lambda [/mm] >0 exponentialverteilten Zufallsgrösse.
Meine "partielle"  Antwort:
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \mbox{ <0} \\ \lambda\cdot e^{- \lambda \cdot x}, & \mbox{für } x \mbox{ >=0} \end{cases}
[/mm]
[mm] \lambda \ge [/mm] 0
E(X)= [mm] \integral_{-\infty}^{\infty} {x\cdot f(x) dx}
[/mm]
E(X)= [mm] \integral_{-\infty}^{\infty} {x\cdot \lambda\cdot e^{- \lambda \cdot x} dx}
[/mm]
E(X)= [mm] \integral_{-\infty}^{0} {x\cdot 0 \ dx}+ \integral_{0}^{\infty} {x\cdot \lambda\cdot e^{- \lambda \cdot x} \ dx}
[/mm]
E(X)= 0 + [mm] \integral_{0}^{\infty} {x\cdot \lambda\cdot e^{- \lambda \cdot x} \ dx}
[/mm]
Es folgt partielle Integration:
E(X)= [mm] \integral_{0}^{\infty} {1\cdot \lambda\cdot e^{- \lambda \cdot x} \ dx} [/mm] - [mm] (x\cdot \lambda\cdot e^{- \lambda \cdot x}\vert \begin{matrix} \infty \\ 0 \end{matrix})
[/mm]
Stimmt das bis hier hin ?
Wie geht die Rechnung weiter ?
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Hallo,
> Es folgt partielle Integration:
>
>
> E(X)= [mm]\integral_{0}^{\infty} {1\cdot \lambda\cdot e^{- \lambda \cdot x} \ dx}[/mm]
> - [mm](x\cdot \lambda\cdot e^{- \lambda \cdot x}\vert \begin{matrix} \infty \\ 0 \end{matrix})[/mm]
>
>
> Stimmt das bis hier hin ?
das stimmt nicht ganz, das [mm]\lambda[/mm] ist hier zuviel.
[mm]\int {\lambda \;e^{ - \;\lambda \;x} \;dx\; = \; - \;e^{ - \;\lambda \;x} }[/mm]
>
> Wie geht die Rechnung weiter ?
Das Integral ausrechnen und eine Grenzwertbetrachtung machen.
Gruß
MathePower
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Hallo MathePower und andere kluge Leser
Danke für Deine schnelle Antwort.
Du hast natürlich recht - und mein Mathe-Taschenbuch Bronstein-Semendjajew bestätigt es mir - dass das [mm] \lambda [/mm] weg muss.
Die entsprechende Grundformel heisst:
[mm] \int {e^{ax}} \;dx\; [/mm] = [mm] \; \bruch{1}{a}\cdot e^{ ax} [/mm]
Dann geht es so weiter mit meinem Erwartungswert:
[mm] E(X)=\integral_{0}^{\infty} {-e^{- \lambda \cdot x} \ dx} \; [/mm] - [mm] \; (-x\cdot e^{- \lambda \cdot x}\vert \begin{matrix} \infty \\ 0 \end{matrix})
[/mm]
[mm] E(X)=(x\cdot e^{- \lambda \cdot x}\vert \begin{matrix} \infty \\ 0 \end{matrix})\; [/mm] + [mm] \; \integral_{0}^{\infty} {-e^{- \lambda \cdot x} \ dx}
[/mm]
Nachtrag 15. Mai
Die partielle Integration habe ich mit falschen Vorzeichen angewendet, es muss natürlich heissen
[mm] E(X)=(x\cdot -e^{- \lambda \cdot x}\vert \begin{matrix} \infty \\ 0 \end{matrix}) \; [/mm] - [mm] \;\integral_{0}^{\infty} {-e^{- \lambda \cdot x} \ dx} \
[/mm]
Ende Nachtrag 15. Mai
Wenn [mm] {x\rightarrow\infty} [/mm] verschwindet der linke Summande, weil der Nenner viel schneller wächst als der Zähler, was etwas salop geschrieben so aussieht, ein richtiger Limes wäre schöner :
[mm] \bruch{- \infty}{e^{- \lambda \cdot - \infty}}\; [/mm] - [mm] \; \bruch{0}{e^{- \lambda \cdot - 0}}\; =\;0
[/mm]
Den rechten Summanden (das übriggebliebene Integral) kann ich durch Multiplikation mit [mm]1=\frac{\lambda }{\lambda } [/mm]erweitern und mein Erwartungswert sieht so aus:
[mm] E(X)=\frac{1}{\lambda }\integral_{0}^{\infty} {\lambda }{e^{- \lambda \cdot x} \ dx}
[/mm]
Wobei das Integral
[mm] \integral_{0}^{\infty} {\lambda }{e^{- \lambda \cdot x} \ dx}
[/mm]
gerade 1 ist, denn es ist ja das Integral der Dichtefunktion
[mm] {\lambda }{e^{- \lambda \cdot x}}
[/mm]
und dieses Integral muss ja 1 ergeben, da jede Dichtefunktion so definiert ist, dass ihr Integral 1 ergibt (Summe aller Wahrscheinlichkeiten).
Damit haben wir für den Erwartungswert:
[mm] E(X)=\frac{1}{\lambda }
[/mm]
Ich denke, dass es jetzt einigermassen stimmt, bis auf einen Vorzeichenfehler(den ich heute, 15. Mai gefunden habe).
Herzlichen Dank für nochmaliges kritisches Durchlesen.
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Hallo,
> Damit haben wir für den Erwartungswert:
>
> [mm]E(X)=\frac{1}{\lambda }[/mm]
>
>
> Ich denke, dass es jetzt einigermassen stimmt, bis auf
> einen Vorzeichenfehler(den ich heute, 15. Mai gefunden
> habe).
Das ist alles richtig.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:36 So 15.05.2005 | | Autor: | BeniMuller |
Danke dir und Gruss
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ich als informatiker bin euch SOWAS von dankbar!!!!
geil gelöst, und mit meinen beschränkten Mathefähigkeiten wäre komplett gescheitert!
gruß Timmy
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Sieht das mit der lösung bei der Frage nach der Varianz ähnlich aus?!
wäre für jeden Tip dankbar!
grus Timmy
ich hab das mal so ähnlich versucht, wie bei dem Erwartungswert, wobei ich sagen muss, ich hab keine Ahnung wie man partiell Integriert, also hab ich das einfach mal analog zu der Methode E(X) veruscht, aber irgendwie verschwindet der linke summand dann genau so wie bei E(X), und es bleibt dann wieder das selbe stehn.....ich weiss auch nicht!
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Hallo Timmy
Varianz ist im diskreten Fall definiert als:
[mm]\sigma ^2 \multisp = \multisp V(X) \multisp = \multisp \summe (x_i- \mu)^2*p_i[/mm]
wobei [mm] \mu[/mm] den Erwartungswert [mm] E(X) [/mm] bezeichnet.
Daraus wird im stetigen Fall:
[mm]\sigma ^2 \multisp = \multisp V(X) \multisp = \multisp \integral_{- \infty}^{ \infty} (x_i- \mu)^2*{f(x) dx}[/mm]
Die Berechnung des Integrals geht ähnlich wie oben beim Erwartungswert (uneigentliches Integral, dann partielle Integration), nur noch etwas komplizierter.
Als Kontrolle, ob Du richtig gerechnet hast, verrate ich Dir das im vergleich zu Berechnung recht einfache Resultat:
[mm]\sigma ^2 \multisp = \multisp V(X) \multisp = \multisp \bruch{1}{\lambda ^2}[/mm]
Gruss (und danke für die Blumen)
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Var(X) = [mm] \integral_{ -\infty}^{ \infty} [/mm] {f(x) dx}
wie bei E(X) fällt ja der linke summand weg, weil für x<0 f(x)=0 und x>=0 f(x)=
[mm] \lambda [/mm] * e^(- [mm] \lambda [/mm] * x)
dann bleibt noch
Var(X)= [mm] \integral_{0}^{ \infty} {(x-E(X))^{2}f(x) dx}
[/mm]
Var(X)= [mm] \integral_{0}^{\infty} {(x-E(X))^{2}e^{- \lambda * x} dx}
[/mm]
dann hab ich versucht das analog zu dem Anderen Artikel zu machen....
[mm] Var(X)=[\lambda*e^{-\lambda*x}(x- \bruch{1}{\lambda})^{2}](von0bis\infty) -\integral_{0}^{\infty} {\bruch{2}{\lambda}e^{-\lambda x} -2x^{2}e^{-\lambda x} dx}
[/mm]
ist das bis dahin richtig????
dann würde ja der linke summand wieder wegfallen bei [mm] x\to\infty.
[/mm]
und dann bleibt nur noch der mist auf der rechten seite, stimmt das???
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Erst mal die Theorie:
Wenn ein Integral mit dem Produkt zweier Funktionen gegeben ist
[mm] \integral_{a}^{b} u'(x)*v(x) dx} [/mm]
bei dem eine Funktion einfach zu integrieren ist [mm]u'(x) [/mm] und die andere einfach zu differenzieren [mm]v(x) [/mm] ,
kann man die partielle Integration probieren:
[mm] \integral_{a}^{b} u'(x)*v(x) dx} \multisp = \multisp u(x)*v(x)\mathcal{j}_{a}^{b} \multisp - \multisp
\integral_{a}^{b} u(x)*v'(x) dx [/mm]
Nun setze ich in Deine Formel ein:
Dabei schreibe ich an Stelle von [mm] E(x) [/mm] das bereits ausgerechnete [mm]\bruch{1}{\lambda} [/mm]
[mm] \integral_{0}^{ \infty} \lambda * e^{-\lambda*x}*(x-\bruch{1}{\lambda})^2 dx} \multisp = \multisp e^{-\lambda*x}*(x-\bruch{1}{\lambda})^2 \mathcal{j}_{0}^{ \infty} \multisp - \multisp \integral_{0}^{ \infty} e^{-\lambda*x}*2(x-\bruch{1}{\lambda}) dx [/mm]
Ich habe verwendet:
[mm]u(x) \multisp = \multisp e^{-\lambda*x}[/mm]
[mm]u'(x) \multisp = \multisp \lambda * e^{-\lambda*x}[/mm]
[mm]v(x) \multisp = \multisp (x-\bruch{1}{\lambda})^2 [/mm]
[mm]v'(x) \multisp = \multisp 2(x-\bruch{1}{\lambda})[/mm]
Hilft das weiter ?
Gruss
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ja soweit war ich in meiner antwort ja auch.
was passiert mit den linken Teil - der verschwindet doch für [mm] x\to\infty, [/mm] oder?
aber was ich dann mit dem rechten Summanden machen soll, weiss ich nicht, soll ich den auch mit [mm] \bruch{\lambda}{\lambda} [/mm] erweitern??? ähnlich wie beim E(X)? Ich weiss net so genau was ich mit dem übriggebliebenen x im Integral machen soll.....vielleicht kannst Du mir da auf die Sprünge helfen.
danke schon mal im Voraus!
gruß Timmy
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Für die Varianz [mm] V(X) [/mm] gilt die Formel
[mm]V(X) \multisp = \multisp E(X^2) \multisp - \multisp (E(X))^2 [/mm]
Ich verwende wieder partielle Integration:
[mm] E(X^2) \multisp = \multisp \integral_{0}^{\infty} {x^2*\lambda*e^{-\lambda*x} dx} \multisp = \multisp
[-x^2*e^{-\lambda*x}]_{0}^{\infty} \multisp - \multisp
\integral_{0}^{\infty} {(-2) *x*e^{-\lambda*x} dx} [/mm]
Wir verwenden jetzt, dass der linke Summand verschwindet.
[mm] E(X^2) \multisp = \multisp 0-(-2) \integral_{0}^{\infty} {x*e^{-\lambda*x} dx}\multisp = \multisp \bruch{2}{\lambda^2} [/mm]
Im rechten Summanden entdecken wir gerade wieder das Integral des unrsprünglichen Erwartungswertes:
[mm] \integral_{0}^{\infty} {x*e^{-\lambda*x} dx} \multisp = \multisp\bruch{1}{\lambda} \integral_{0}^{\infty} {x*\lambda * e^{-\lambda*x} dx} \multisp = \multisp \bruch{1}{\lambda}*E(X)\multisp = \multisp \bruch{1}{\lambda}* \bruch{1}{\lambda} \multisp = \multisp \bruch{1}{\lambda^2} [/mm]
Damit ergibt sich für die Varianz zusammengefasst:
[mm] V(X) \multisp = \multisp E(X^2) \multisp - \multisp (E(X))^2 \multisp = \multisp \bruch{2}{\lambda^2} - \bruch{1}{\lambda^2} \multisp = \multisp \bruch{1}{\lambda^2} [/mm]
Gruss
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Grandios. Dankeschön. Diese scheiss Integration nervt mich extrem an. Ich hab so hammer nachholbedarf in Mathe .... aber wenn alles gut läuft, muss ich das nur noch ein Semester ertragen!
Was denkst DU ist einfacher, Numerik, oder Diskrete? Brauche noch ein Fach, in dem ich mich prüfen lasse.
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