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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:35 Mo 03.03.2008 | | Autor: | anabolik |
wie bestimme ich die faktoren der folgenden funktion?
[mm] y=U*(1-e^{ax}) [/mm] --> also U und a
dabei sind z.B. 6 (x,y)-wertepaare bekannt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:07 Mo 03.03.2008 | | Autor: | maddhe |
es reichen eigentlich 2 x,y-Wertepaare, da du ja auch nur 2 Variablen bestimmen musst...
ich würd sagen, einfach den y-Wert für y, x-Wert für x einsetzen, das 2 (bzw. 6) mal und dann hast du 2 Gleichungen mit 2 unbekannten, die man also lösen kann... oder hab ich deine frage falsch verstenden?
grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Mo 03.03.2008 | | Autor: | anabolik |
so geht es nur bei liniaren gleichungssystemen, oder?
es geht darum, dass man aus (x,y)-wertepaaren (z.b. messwerte) auf die funktion schliessen kann.
es ist bekannt, dass die funktion so [mm] y=U*(1-e^{ax}) [/mm] aussieht.
mit [mm] y=U*e^{ax} [/mm] geht es, mit logarithmischen transformation mit anschließender linearen regressionsrechnung, im prinzip problemlos.
nur mit [mm] y=U*(1-e^{ax}) [/mm] komme ich nicht auf Y=A*X+B um mit lin. regression weiter zu rechnen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:55 Mo 03.03.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> so geht es nur bei liniaren gleichungssystemen, oder?
Es geht auch bei nichtlinearen Gleichungssystemen, aber der Aufwand ist deutlich größer.
> es geht darum, dass man aus (x,y)-wertepaaren (z.b.
> messwerte) auf die funktion schliessen kann.
>
> es ist bekannt, dass die funktion so [mm]y=U*(1-e^{ax})[/mm]
> aussieht.
> mit [mm]y=U*e^{ax}[/mm] geht es, mit logarithmischen transformation
> mit anschließender linearen regressionsrechnung, im prinzip
> problemlos.
> nur mit [mm]y=U*(1-e^{ax})[/mm] komme ich nicht auf Y=A*X+B um mit
> lin. regression weiter zu rechnen.
Das geht auch, mit einem Trick.
Du kannst zunächst auf U schließen, ohne die Regressionsrechnung durchzuführen. Für sehr große Werte von x ist y sehr nah an U. Wenn du also einen Messwert für große x hast, kannst du für den Wert von U den dazu gemessenen y-Wert nehmen.
Dann definierst du die Variable $z=U-y = [mm] U*e^{ax}$ [/mm] und hast wieder die ursprüngliche Form. Bei deiner Regressionsrechnung musst du denselben Wert für U herausbekommen wie im ersten Schritt. Wenn das nicht der Fall ist, dann kannst du versuchen, mit dem neuen, per Regression berechneten Wert von U die z-Werte auszurechnen und die Regression zu wiederholen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Mo 03.03.2008 | | Autor: | anabolik |
>Für sehr große Werte von x ist y sehr nah an U.
sie meinen für sehr kleine werte von x, oder?
das mit z verstehe ich nicht ganz.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:28 Mo 03.03.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
man könnte Näherungswerte für a und U auch so gewinnen: indem man in
$a = [mm] ln\left(\bruch{y_1-y_2}{y_1*e^{x_2}-y_2*e^{x_1}} \right)$
[/mm]
nacheinander alle 6 Wertepaare einsetzt und aus den 5 Werten für a das arithmetische Mittel bildet.
Den Näherungswert für a dann in die Funktionsgleichung einsetzen und aus den erhaltenen 6 Werten für U wiederum das arithmetische Mittel bilden.
Die Vorgehensweise habe ich einmal in einem Schulbuch gelesen, in welchem noch keine Regression nach der Methode der kleinsten Fehlerquadrate behandelt wurde.
LG, Martinius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 Mo 03.03.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> >Für sehr große Werte von x ist y sehr nah an U.
>
> sie meinen für sehr kleine werte von x, oder?
Wir duzen uns alle hier 
Ja, sorry, ich hatte [mm] $e^{\red{-}ax}$ [/mm] gelesen statt [mm] $e^{ax}$. [/mm] Allerdings ändert das nichts an der Überlegung.
Die Kurve sieht doch so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Sie nähert sich für große negative Werte von x von unten an U an.
> das mit z verstehe ich nicht ganz.
Wenn $z=U-y$ ist, dann folgt daraus
$ z = U -y = U - [mm] U(1-e^{ax}) [/mm] = U [mm] e^{ax} \gdw \ln [/mm] z = ax + [mm] \ln [/mm] U $
Wenn du also zum Beispiel zu dem Paar [mm] $(x_1,y_1)$ [/mm] das Paar [mm] $(x_1,z_1) [/mm] = [mm] (x_1 ,U-y_1)$ [/mm] ausrechnest, dann sollten diese Wertepaare nach Bilden des Logarithmus auf einer Geraden liegen und du kannst die Regressionsgeerade bestimmen.
Viele Grüße
Rainer
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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