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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 Sa 08.10.2005 | | Autor: | crack |
habe eine abi-aufgabe mit der ich nicht zurecht komme und nirgends eine lösung gefunden habe
eine population besteht heute aus 30150 ind. !
vor 2 jahren waren es noch 44980!
exponentielle abnahme!
wann werden vom heutigen bestand noch 10% übrig sein?
wann wird die abnahme innerhalb eines jahres erstmals weniger als 1500 sein?
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt)
danke für die hilfe
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Hi!
Es gibt 2 Möglichkeiten, an so eine Aufgabe ranzugehen.
1.
[mm] $P_0$=44980 [/mm] ist die Anfangspopulation.
[mm] $P_2$=30150 [/mm] ist die Population nach 2 Jahren.
Es gilt die Formel [mm] $P_n=P_0(1-q)^n$, [/mm] wobei n die Jahre sind und q der Prozentsatz ist, um den die Bevölkerung jährlich abnimmt.
D.h. man hat:
[mm] $P_2=44980*(1-q)^2=30150$.
[/mm]
Daraus folgt: [mm] $(1-q)^2=0,67029791$. [/mm] Zieht man die Wurzel, erhält man
1-q=0,818717235, d.h. es gilt q=0,181282765.
Daher ist unsere Funktion: [mm] $P_n=44980*0,818717235^n$.
[/mm]
Die Frage: Wann werden vom heutigen Stand (d.h. von 30150) nur noch 10% da sein, d.h. 3015.
Ansatz: Wann ist [mm] $P_n$=3015?
[/mm]
Also: [mm] $P_n=44980*0,818717235^n [/mm] =3015$. Durch 44980 teilen ergibt:
[mm] $0,818717235^n [/mm] = 0,06702979$. Jetzt Logarithmus anwenden, daraus folgt:
[mm] $n=\bruch{\ln 0,06702979}{\ln 0,818717235}=13,5.$
[/mm]
Antwort: nach 13,5 Jahren....
Der andere Ansatz ist:
[mm] $P_n=P_0*e^{-an}$
[/mm]
Weil man hat [mm] $e^{-an}=(1-q)^n$ [/mm] muss gelten: [mm] $e^{-a}=1-q=0,818717235$.
[/mm]
Löst man das nach a auf erhält man (mit Logarithmus) a=1,707697227, und somit
[mm] $P_n=P_0*e^{-1,707697227*n}$.
[/mm]
Damit geht das genauso.
Zur anderen Frage kannst du dir jetzt, wo du die Funktion hast, selbst mal Gedanken machen.
Bei Rückfragen einfach schreiben.
(Auf alle Angaben keine Gewähr!)
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