expz = lim(1+z/n)^n < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:52 Sa 21.01.2006 | | Autor: | Fei |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Exponentialfunktion
[mm] $\exp [/mm] z = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{z}{n})^n$
[/mm]
erfüllt. |
Hi Leute,
Hab mich an die Aufgabe rangesetzt, aber irgendwie schien mir das zu einfach... Hab bestimmt einen Fehler gemacht! Könnt ihr das bitte überprüfen bzw. verbessern? Danke!
[mm] |(1+\bruch{z}{n})^n-expz|
[/mm]
= [mm] |\summe_{k=0}^{n} \pmat{n \\ k} \bruch{z^k}{n^k}-\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^k}{k!}|
[/mm]
[mm] \le |\summe_{k=0}^{n} z^k \bruch{1}{k!} -\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^k}{k!}| \to [/mm] 0 für [mm] n\to\infty
[/mm]
Wie gesagt, so einfach kann das nicht sein....
Danke für jede Hilfe!
Fei
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:36 So 22.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Der Beweis ist auf jeden Fall falsch.
Man kann es (falls man die Aussagen alle zur Verfügung hat), so beweisen:
Es genügt die Aussage für reelle Zahlen zu beweisen (Identitätssatz).
Wegen $ln'(x) = [mm] \frac{1}{x}$,
[/mm]
also:
[mm] $\ln'\left( \frac{1}{x_0} \right) [/mm] = [mm] x_0$ [/mm] für ein festes [mm] $x_0$,
[/mm]
folgt:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \left[ \frac{ \ln\left( \frac{1}{x_0} + \frac{1}{n} \right) - \ln \left( \frac{1}{x_0} \right)}{\frac{1}{n}} \right]= x_0$.
[/mm]
Daraus kann man aber unmittelbar (durch Umstellen) die Behauptung folgern, wenn man die Stetigkeit der Exponentialfunktion ausnutzt...
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 15:10 So 22.01.2006 | | Autor: | Fei |
Hi,
Danke erstmal für deine Antwort.
Das Ding ist, ich versteh das Problem nicht, wieso das nicht gehen sollte, d.h. wo genau der Fehler liegt bei der Rechnung.
Wir haben von unserem Professor auch folgende Hilfestellung bekommen, was auch von meiner Überlegung abweicht:
[mm]|(1+\bruch{z}{n})^n-expz|[/mm]
= [mm] |\summe_{k=0}^{n} \pmat{n \\ k} \bruch{z^k}{n^k}-\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^k}{k!}|
[/mm]
[mm] \le \summe_{k=0}^{N} |\pmat{n \\ k} \bruch{z^k}{n^k}-\bruch{z^k}{k!}| [/mm] + [mm] \summe_{k=N+1}^{n} |\pmat{n \\ k} \bruch{z^k}{n^k}| [/mm] + [mm] \summe_{k=N+1}^{\infty} |\bruch{z^k}{k!}|
[/mm]
und wählen Sie N in Abstimmung mit einem vorgegebenem [mm] \varepsilon
[/mm]
Die Vorgehensweise ist ja leicht zu verstehen, da wurde ja nur die Summe geteilt und dann durch die Dreicksungleichung abgeschätzt. Aber der Satz "wählen Sie N in Abstimmung mit einem vorgegebenem [mm] \varepsilon [/mm] " verstehe ich nicht.
Man kann ja nun den ersten Summanden abschätzen, d.h.
[mm] \le \summe_{k=0}^{N} |\bruch{z^k}{k!}-\bruch{z^k}{k!}| [/mm] + [mm] \summe_{k=N+1}^{n} |\pmat{n \\ k} \bruch{z^k}{n^k}| [/mm] + [mm] \summe_{k=N+1}^{\infty} |\bruch{z^k}{k!}|
[/mm]
= [mm] \summe_{k=N+1}^{n} |\pmat{n \\ k} \bruch{z^k}{n^k}| [/mm] + [mm] \summe_{k=N+1}^{\infty} |\bruch{z^k}{k!}|
[/mm]
Weiter komme ich aber nicht mehr; die restlichen beiden Summanden scheinen nicht gegen Null zu konvergieren; hab ich etwa schon zuviel abgeschätzt?
Danke für die Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:41 Di 24.01.2006 | | Autor: | PStefan |
Hallo!
Leider konnte dir keiner, innerhalb der von dir vorgegebenen Zeit antworten. Nun muss ich deine Frage für Interessierte markieren.
Vielleicht hast du nächstes Mal mehr Glück. ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]")
Liebe Grüße
PStefan
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