extrema unter nebenbedingungen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:05 Do 15.03.2007 | | Autor: | Janyary |
| Aufgabe | Um Extremwertaufgaben unter Nebenbedingungen zu loesen, werden die Lagrange Multiplikatoren verwendet. Wir haben in der Vorlesung einen Satz, der besagt:
"Sei [mm] U\subset\IR^n [/mm] offen und [mm] f;g_1,...g_m [/mm] : U [mm] \to \IR [/mm] stetig differenzierbare Funktionen. Es sei [mm] m\leq [/mm] n und [mm] M=\{x\in U: g_1(x)=...=g_m(x)=0\}. [/mm]
Fuer [mm] a\in [/mm] M seien die Vektoren [mm] gradg_1(a),...,gradg_m(a) [/mm] linear unabhaengig.
Falls a eine lokale Extremstelle von f unter der Nebenbedingung M ist, so existiert ein [mm] \lambda\in\IR^m [/mm] mit
[mm] gradf(a)=\summe_{i=1}^{m}\lambda_i gradg_i(a). [/mm] |
hallo ihr lieben,
also den satz hab ich soweit verstanden, kann solche aufgaben auch loesen. das einzige was mir unklar ist, ist folgendes. warum muss gelten:
Fuer [mm] a\in [/mm] M seien die Vektoren [mm] gradg_1(a),...,gradg_m(a) [/mm] linear unabhaengig?
ich habe da schon ein ganzes weilchen drueber nachgedacht, komme aber nicht wirklich weiter. Es waere also wirklich sehr schoen, wenn jemand eine antwort darauf weiss.
lg Jany
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:54 So 18.03.2007 | | Autor: | Janyary |
Gibt es wirklich niemanden, der weiss, warum die Bedingung fuer die Gueltigkeit des Satzes wichtig ist??
lg, Jany
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:34 So 18.03.2007 | | Autor: | viktory_hh |
Hi, ich bin nicht 100% sicher, beschäftige mich aber ebenfalls mit dem Thema demnächst. Also ich vermute dass die Bedingung dafür da ist, damit keine der Nebenbedingungen an der Stelle überflüssig ist.
Oder anderer Gedanke: sagen wir mal die Bedingungen sind linear, und wir hätten nur [mm] x_1,x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] also n=3 und 2 Nebenbedingungen, m=2.
Bei zwei nebenbedigungen läßt sich nur hoffen dass die beiden Ebenen sich schneiden. (sonst überhaupt keine Lösung, es sei denn es handelt sich um dieselbe Ebene). Damit das der Fall ist müssen die Normalen Vektoren, also die Gradienten der linearen Nebenbedingungen nicht parallel sein, sprich linear unabhängig.
So weit meine Gedanken.
Weißt Du was man in diesem Zusammenhang unter Constraint Qualifiacations versteht?
Ich das Thema nämlich so wie Du auch richtig verstehen und nicht nur nach vorgefertigten Methoden lösen.
bis dann
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:13 So 18.03.2007 | | Autor: | Janyary |
also ich habe den begriff constraint qualifications heut zum ersten mal gehoert, aber mal unter wikipedia nachgeschaut. wenn ich das richtig verstanden habe, bedeutet es fuer das beispiel der extrema unter nebenbedingungen aber auch nur, dass die gradienten der aktiven gleichungsbedingungen linear unabhaengig sind.
ich habe bisher auch leider nur beispiele gefunden an die eine nebenbedingung gestellt war und die ist ja dann eh schon linear unabhaengig.
aber vielleicht findet sich ja noch jemand, der die frage wirklich beantworten kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:39 So 18.03.2007 | | Autor: | viktory_hh |
| Aufgabe | Die Bedingung hat auf jeden Fall etwas mit Constraint Qualifications zu tun.
nur was bedeuten die und wofür die da sind, weiß ich zur Zeit noch nicht. Würde ebenfalls es gerne wissen  |
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:44 So 18.03.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
der Beweis für die Existenz der Lagrangen Multiplikatoren [mm] \lambda [/mm] verwendet den Satz über die impliziten Funktionen, der im wesentlichen aussagt, das eine Funktion
F(x,y)=0 nach y aufgelöst werden kann, wenn gilt
[mm] det\left(\br{\partial{F}}{\partial{y}}(x,y)\right)\ne0 [/mm] gilt.
Angewandt auf Dein Problem folgt, man kann die m Nebenbedingungen [mm] g_i(x)=0 [/mm] i=1..m nur dann nach m Variable auflösen, wenn gilt
[mm] Rang\left(\br{\partial{g}}{\partial{x}}(a)\right)=m, [/mm] also die Funktionalmatrix der Nebenbedingungen den Höchstrang hat. Den hat sie aber, wenn die von Dir angegebenen Voraussetzungen gelten, nämlich
[mm] \nabla{g_i(a)} [/mm] sind linear unabhängig für i=1..m.
mfg ullim
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| Aufgabe | Hi Ullim, in diesem Fall müsste man dann doch nach den [mm] \lambda [/mm] -s ableiten (bzw. y ) und nicht nach x.
Andere Sache betrifft die "constraint qualifications". Es gibt viele verschiedene. Na ja viele vielleicht nicht aber einige schon. Im Laufe einerr arbeit die ich jetzt anfertigen muss werde ich aber mit dem Thema noch auseinander setzen müssen. Also poste ich in ca. einem Monat was dazu , wenn ich das dann verstanden habe. |
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 So 18.03.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
was meinst Du denn mit ableiten nach [mm] \lambda [/mm] - s?
mfg ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:58 So 18.03.2007 | | Autor: | viktory_hh |
z.B.
min f(x)
s.t. G(x)=0
[mm] G(x)=(g_1,...,g_m)^T
[/mm]
dann ist die Langrange Funktion doch
[mm] L(x,y)=f(x)+y^T*G(x)
[/mm]
Wenn Du jetzt meinst es hat was mit der Garantie an die Existenz der Lagrange -Multiplikatoren u ttun, dann müsste man doch L(x,y) nach y ableiten. Oder habe ich den impliziten Satz vergessen.
Ach ich weiß nicht mehr :-(
bis dann
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:57 So 18.03.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
man muss unterscheiden zwischen dem konkreten Lösen von Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen und der Existens von Lagrangen Multiplikatoren.
Will man solche Aufgaben lösen, geht man so vor wie Du beschrieben hast, dabei ist die Existens der Lagrangen Multiplikatoren aber schon vorausgesetzt.
Damit sie aber überhaupt existieren, braucht man lineare Unabhängigkeit der Gradienten der Nebenbedinungen.
mfg ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:53 So 18.03.2007 | | Autor: | Janyary |
hi ullim,
vielen dank fuer die antwort
lg jany
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