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ich habe folgendes problem .. ich muss zu morgen matheaufgaben abliefern, bei denen weder ich, noch die leute aus dem mathe lk, die ich gefragt habe, weiter wissen
folgendes:
betrachtet wird das achsenparallele rechteck, dessen eckpunkt P(z/f(z)) für 0>z>1 auf dem Graphen der Funktion f(x)= 2x * e^-x liegt.
wie muss z gewählt werden, damit das rechteck maximal wird?
mein lösungsansatz:
Hauptbedingung: A=y * (x-z) -> x=1 ist bekannt
Nebenbedinung: y= 2x * e^-x
2. werte einsetzen und 1. ableitung bilden
A= 2e^-1 * (1-z)
A' = -2e^-1 * (1-z) + 2e^-1 * (-1)
A' = -2e^-1 * (2-z)
das ganze dann null setzen
0= -2e^-1 * (2-z)
<=> 0=2-z /+z
z=2
und da ist das problem .. der z wert muss zwischen o und 1 liegen, dass ist vorgegeben und auch in der skizze im buch so zu erkennen .. die obere grenze des rechtecks ist ja x=1 !!!
mir wurde gesagt ich solle (wenn ich das problem gelöst habe) wie folgt weiterrechnen: in 2. ableitung einsetzen und überprüfen ob ein hochpunkt rauskommt, dann z-wert in ausgangsgleichung um f(z) zu erhalten ...
klingt ja alles ganz logisch . aber wir rechnen seit zwei tagen dran rum und finden den fehler nicht .. das problem: ohne die aufgabe kann ich die restlichen 2 auch nciht machen .. und ich krieg ne note drauf ..
hoffe ich konnte es verständlich erklären und bitte auch dringendst um hilfe!
mit freundlichen grüßen, goldentristesse
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:14 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Fugre |
> ich habe folgendes problem .. ich muss zu morgen
> matheaufgaben abliefern, bei denen weder ich, noch die
> leute aus dem mathe lk, die ich gefragt habe, weiter wissen
>
> folgendes:
> betrachtet wird das achsenparallele rechteck, dessen
> eckpunkt P(z/f(z)) für 0>z>1 auf dem Graphen der Funktion
> f(x)= 2x * e^-x liegt.
> wie muss z gewählt werden, damit das rechteck maximal wird?
>
> mein lösungsansatz:
>
> Hauptbedingung: A=y * (x-z) -> x=1 ist bekannt
woher ist $x=1$ bekannt? Wo liegt die linke untere Ecke?
> Nebenbedinung: y= 2x * e^-x
>
> 2. werte einsetzen und 1. ableitung bilden
>
> A= 2e^-1 * (1-z)
> A' = -2e^-1 * (1-z) + 2e^-1 * (-1)
> A' = -2e^-1 * (2-z)
>
> das ganze dann null setzen
>
> 0= -2e^-1 * (2-z)
> <=> 0=2-z /+z
> z=2
>
> und da ist das problem .. der z wert muss zwischen o und 1
> liegen, dass ist vorgegeben und auch in der skizze im buch
> so zu erkennen .. die obere grenze des rechtecks ist ja x=1
> !!!
>
> mir wurde gesagt ich solle (wenn ich das problem gelöst
> habe) wie folgt weiterrechnen: in 2. ableitung einsetzen
> und überprüfen ob ein hochpunkt rauskommt, dann z-wert in
> ausgangsgleichung um f(z) zu erhalten ...
>
> klingt ja alles ganz logisch . aber wir rechnen seit zwei
> tagen dran rum und finden den fehler nicht .. das problem:
> ohne die aufgabe kann ich die restlichen 2 auch nciht
> machen .. und ich krieg ne note drauf ..
>
> hoffe ich konnte es verständlich erklären und bitte auch
> dringendst um hilfe!
>
> mit freundlichen grüßen, goldentristesse
Hallo Laura,
also zunächst eine Frage an dich, ist der Ursprung auch ein Eckpunkt des Rechtcks?
Ich nehme das mal an, falls die Vermutung nicht zutrifft ändert sich aber auch nicht
viel. Also deine Zielfunktion ist $A=y*(x-z)$, aber wieso $x-z$? der Eckpunkt hat doch
die Koordinaten $(z/f(z))$ und deshalb wäre meine Zielfunktion $A=z*f(z)$.
$z$ ist der horizontale Abstand zum Ursprung und $f(z)$ der vertikale.
Außerdem ist [mm] $f(z)=2z*e^{-z}$, [/mm] somit können wir schreiben:
[mm] $A=z*2z*e^{-z}=2z^2*e^{-z}$
[/mm]
Hier mal ein Plot im Intervall $0;3$
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ist merkwürdig, denn im Normalfall, wird das Maximum bei Schulaufgaben selten in den Randbereich
gesetzt, aber hier ist der Flächeninhalt maximal, wenn $z=2$ ist. Deswegen gib bitte mal die genaue
Aufgabenstellung mit Zeichnung an, damit wir dir besser helfen können.
Das eigentliche Vorgehen ist folgendes:
1. Ableiten
2. 1. Ableitung nullsetzen
3. Nullstellen der 1. Ableitung in die zweite einsetzen. Ist das Ergebnis größer 0, vergiss diese Nullstelle
4. War Ergebnis bei 1. Ableitung <0, so setze es in die Funktion ein
5. Ränder des Definitionsbereich (hier: 0 und 1) in die Funktion einsetzen
6. Ergebnisse von 4. und 5. vergleichen, größere Auswählen und ein Lächeln aufsetzen 
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Sollte etwas unklar sein, so frag bitte nach.
Liebe Grüße
Fugre
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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vielen dank schon einmal für deine hilfe!
aber: die rechte äußere begrenzung des rechtecks ist x=1, das ist im lehrbuch so vorgegeben
somit muss (auch in der aufgabe definiert) 0>z>1 gelten
ich würd ja gern ein bild mit anhängen, aber unser scanner ist kaputt
ich kann aber werte angeben:
extremwert: HP (1 / 0,74)
wendepunkt: rechts-linkswendepunkt (2/ 0,54)
verhalten:
limes für x gegen [mm] \infty [/mm] (2x * e^-x) = 0
limes für x gegen - [mm] \infty [/mm] (2x * e^-x) = - [mm] \infty
[/mm]
z kann nicht größer 1 sein!!!
naja .. die formel ergibt sich daraus, dass von x=1 die länge des rechtecks abgezogen werden muss .. also zwischen x=0 und z liegt ja noch ein unbekanntes stück ... so wurde mir das erklärt, deshalb A= f(z) * (x-z)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Laura!
Hier darf wohl jeder mal bei dieser Frage  ...
Hoffentlich verwirren wir Dich nicht allzu sehr!
Ich behaupte, nunmehr die Aufgabenstellung verstanden zu haben!
Fangen wir mal klein an ...
Der Flächeninhalt eines Rechteckes lautet: [mm] $A_{Rechteck} [/mm] \ = \ a * b$
Dabei entspricht die horizontale Seite $a$ der Strecke zwischen unserem gesuchten Wert $z$ und der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 1$:
$a \ = \ 1 - z$
Die vertikale Seite $b$ entspricht dann exakt dem Funktionswert an der Stelle $z$ : $b \ = \ f(z)$
Soweit warst Du ja auch bereits ...
Dein Fehler war, Du hast Dir Deine Zielfunktion unfreiwillig vereinfacht, indem Du einen Faktor $z$ unterschlagen hast!
Es muß ja nun lauten:
$A(z) \ = \ (1-z) * f(z) \ = \ (1-z) * [mm] 2\red{z} [/mm] * [mm] e^{-z}$
[/mm]
Mit dieser Funktion mußt Du nun Deine Extremwertberechnung durchführen (1. Ableitung bestimmen, Nullstelle ermitteln etc.).
Dabei erhältst Du zwei mögliche Extremwertstellen, von denen eine wegfällt, da sie größer als 1 ist (außerdem befindet sich dort auch "nur" ein Minimum).
Ich habe erhalten (bitte nachrechnen): [mm] $z_E [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3 - \wurzel{5}}{2} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 0,38$
Ich hoffe, nun sind wirklich alle Klarheiten beseitigt ...
Grüße
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:10 Mi 13.04.2005 | | Autor: | barb |
> Es muß ja nun lauten:
>
> [mm]A(z) \ = \ (1-z) * f(z) \ = \ (1-z) * 2\red{z} * e^{-z}[/mm]
>
> Mit dieser Funktion mußt Du nun Deine Extremwertberechnung
> durchführen (1. Ableitung bestimmen, Nullstelle ermitteln
> etc.).
Sehe ich auch so.
Barb
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jetzt haltet ihr mich bestimmt für vollkommen dämlich ...
ich hab deinen lösungsansatz verstanden und bin dir sehr dankbar für die genaue erklärung!
aber ich krieg alles mögliche raus, nur nicht das was ich brauche ..
A(z) = (1-z) * f(z)
A(z) = (1-z) * 2z *e^-z
A(z) = e^-z *(2z [mm] -2z^2)
[/mm]
A'(z) = -e^-z (2z - [mm] 2z^2) [/mm] + e^-z (2-4z)
A'(z) = e^-z [mm] (-2z^2 [/mm] - 2z - 2)
0= e^-z [mm] (-2z^2 [/mm] - 2z -2)
<=> 0= [mm] -2z^2 [/mm] -2z -2 / :2
0= [mm] -z^2 [/mm] -z -1
pq-formel:
0,5 [mm] \pm \wurzel{0,25 -1}
[/mm]
0,5 [mm] \pm [/mm] 1,12
z1= 1,62
z2= -0,62
... da der wert ja nicht zwischen 0 und 1 liegt muss es falsch sein und ich kann mir hier die überprüfung mit der 2. ableitung sparen (glaube ich)
wo liegt denn nun schon wieder der fehler? es ist zu haareraufen *arg*
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juhuuuu ihc habs ...
z= 0.38
und hab nen hochpunkt raus .. *im kreis hüpf*
aber .. nicht, dass ich jetzt auf die letzten zentimeter noch einen fehler begehe .. um f(z) rauszubekommen muss ich 0.38 in die ausgangsgleichung f(x) = 2x * e^-x einsetzen, oder in die gleichung A(z) = (1-z) * f(z) ?? ich tendiere zur zweiten gleichung ... *g*
und ich verspreche mich bei der nächsten frage mit den schreibmöglichkeiten für funktionen auseinanderzusetzen! ehrenwort
*strahlend den rest ordentlich aufschreib und die haare wieder glatt kämm*
laura
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im kreis hüpf -> eine mischung aus beiden ;)
super, jetzt hab ichs komplett fertig .. ein rieeeeesen dankeschön an dich!
wünsche ebenfalls eine gute nacht, die nachtruhe haben wir uns ja jetzt auch verdient *zwinker*
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:39 Mi 13.04.2005 | | Autor: | barb |
(Endlich drin! Die Registrierung dauerte etwas)
> betrachtet wird das achsenparallele rechteck, dessen
> eckpunkt P(z/f(z)) für 0>z>1 auf dem Graphen der Funktion
> f(x)= 2x * e^-x liegt.
> wie muss z gewählt werden, damit das rechteck maximal wird?
>
> mein lösungsansatz:
>
> Hauptbedingung: A=y * (x-z) -> x=1 ist bekannt
> Nebenbedinung: y= 2x * e^-x
Achtung: Da, wie du weiter unten schreibst, die rechte Grenze bei x=1 liegt, ist x hier bei dir eine Konstante. Die Variable ist z. Daher die Nebenbedingung für z aufstellen. Nach meinen Berechnungen kommt dann z= 1/2 (?)
Barb
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auch dir ein dankeschön für deine hilfe!!!
aber ..was genau meinst du jetzt mit nebenbedingun für z formulieren? z will ich doch rauskriegen ... *aufm schlauch steh*
mfg, goldentristesse
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:51 Mi 13.04.2005 | | Autor: | barb |
Hauptbedingung: A=y*(1-z)
Nebenbedingung: y= f(z)
Die Breite des Rechtecks hängt doch von dem Funktionswert an der Stelle z ab. z ist gesucht, also die Variable.
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Hallo laura
Wo soll denn das Rechteck beginnen??
Steht da etwas in der Aufgabe?
Gruss
Eberhard
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:07 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Eberhard!
So habe ich jetzt die Aufgabenstellung verstanden ...
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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genauso sieht die skizze im lehrbuch aus .. die rechte grenze ist wie gesagt 1! also die skizze stimmt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:18 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Loddar |
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... so von Berlina zu Berlina, da jeht ditte doch, mit die Vaständijung !!
Jrüße inne Hauptstadt
Loddar
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Hallo Loddar
Zu deinen nicht geringen mathematischen Fähigkeiten
kommen jetzt auch noch hellseherische hinzu!!!!!
Gruss
Eberhard
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Hallo Laura
Ich komme zum selben Ergebnis wie Fugre x = 2
ich habe dir mal die Funktion, die funktion der hauptbedingung und deren
Ableitung gezeichnet.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruss
Eberhard
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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