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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:00 Di 23.06.2009 | | Autor: | Marizz |
| Aufgabe | Bestimme alle lokalen Hoch-, Tief-, Sattelpunkte:
a) f(x,y)= [mm] y^{3}+x^{2}(y+1)-12y+11
[/mm]
b) f(x,y)= [mm] e^{xy}+2xy+y [/mm] |
erstmal zur a)
ich habe zuerst abgeleitet:
[mm] f_{x}(x,y)= [/mm] 2xy+2x
[mm] f_{xx}(x,y)= [/mm] 2y+2
[mm] f_{xy}(x,y)= [/mm] 2x
[mm] f_{y}(x,y)= 3y^{2}+x^{2}-12
[/mm]
[mm] f_{yy}(x,y)= [/mm] 6y
notwendige Bedingung:
[mm] f_{x}(x,y)=0 \Rightarrow [/mm] x=0
[mm] f_{y}(x,y)=0 \Rightarrow y_{1,2}=\pm\wurzel{4-\bruch{x^{2}}{3}}
[/mm]
ich hoffe soweit ist es richtig!
Nur leider weis ich jetzt nicht wie ich die hinreichenden Bedigungen für Extrema und Sattelpunkte anwenden soll.
In meiner Formelsammlung steht:
es sei [mm] \Delta(x_{E},y_{E})= f_{xx}(x_{E},y_{E})*f_{yy}(x_{E},y_{E})-f_{xy}(x_{E},y_{E})^{2}.
[/mm]
falls [mm] \Delta(x_{E},y_{E})>0 [/mm] und [mm] f_{xx}(x_{E},y_{E})<0 \Rightarrow [/mm] Hochpunkt
falls [mm] \Delta(x_{E},y_{E})>0 [/mm] und [mm] f_{xx}(x_{E},y_{E})>0 \Rightarrow [/mm] Tiefpunkt
falls [mm] \Delta(x_{E},y_{E}) [/mm] <0 [mm] \Rightarrow [/mm] Sattelpunkt
meine Fragen:
was genau ist xE? etwa 0 (da x=0)? muss ich das noch in f(x,y) einsetzen um einen Punkt rauszubekommen? und was mach ich wenn ich, wie hier, für y zwei Werte habe? setz ich alle zwei y in ein in die Formel: [mm] \Delta(x_{E},y_{E})= f_{xx}(x_{E},y_{E})*f_{yy}(x_{E},y_{E})-f_{xy}(x_{E},y_{E})^{2} [/mm] ??
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Hallo Marizz,
> Bestimme alle lokalen Hoch-, Tief-, Sattelpunkte:
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> a) f(x,y)= [mm]y^{3}+x^{2}(y+1)-12y+11[/mm]
>
> b) f(x,y)= [mm]e^{xy}+2xy+y[/mm]
> erstmal zur a)
> ich habe zuerst abgeleitet:
>
> [mm]f_{x}(x,y)=[/mm] 2xy+2x ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Faktorisiere hier, um die NSTen besser zu sehen
$=2x(y+1)$
> [mm]f_{xx}(x,y)=[/mm] 2y+2
> [mm]f_{xy}(x,y)=[/mm] 2x
> [mm]f_{y}(x,y)= 3y^{2}+x^{2}-12[/mm]
> [mm]f_{yy}(x,y)=[/mm] 6y
>
> notwendige Bedingung:
> [mm]f_{x}(x,y)=0 \Rightarrow[/mm] x=0
Nee, notwendige Bedingung ist [mm] $f_x(x,y)=0$ [/mm] und [mm] $f_y(x,y)=0$
[/mm]
Also $2x(y+1)=0 \ [mm] \wedge 3y^2+x^2-12=0$
[/mm]
Die erste Bed. ergibt $x=0$ oder $y=-1$
Damit gehe mal in die 2.Bedingung, um alle stationären Punkte zu ermitteln ..
>
> [mm]f_{y}(x,y)=0 \Rightarrow y_{1,2}=\pm\wurzel{4-\bruch{x^{2}}{3}}[/mm]
>
> ich hoffe soweit ist es richtig!
> Nur leider weis ich jetzt nicht wie ich die hinreichenden
> Bedigungen für Extrema und Sattelpunkte anwenden soll.
>
> In meiner Formelsammlung steht:
> es sei [mm]\Delta(x_{E},y_{E})= f_{xx}(x_{E},y_{E})*f_{yy}(x_{E},y_{E})-f_{xy}(x_{E},y_{E})^{2}.[/mm]
Das ist die Determinante der Hessematrix im stationären Punkt [mm] $(x_E,y_E)$
[/mm]
>
> falls [mm]\Delta(x_{E},y_{E})>0[/mm] und [mm]f_{xx}(x_{E},y_{E})<0 \Rightarrow[/mm]
> Hochpunkt
>
> falls [mm]\Delta(x_{E},y_{E})>0[/mm] und [mm]f_{xx}(x_{E},y_{E})>0 \Rightarrow[/mm]
> Tiefpunkt
>
> falls [mm]\Delta(x_{E},y_{E})[/mm] <0 [mm]\Rightarrow[/mm] Sattelpunkt
>
> meine Fragen:
> was genau ist xE? etwa 0 (da x=0)? muss ich das noch in
> f(x,y) einsetzen um einen Punkt rauszubekommen?
[mm] $(x_E,y_E)$ [/mm] sind die Kandidaten für die Extrema (stationäre Punkte), die solltest du nochmal richtig ausrechnen und die Hessematrix in den berechneten Punkten aufstellen
> und was mach ich wenn ich, wie hier, für y zwei Werte habe? setz
> ich alle zwei y in ein in die Formel: [mm]\Delta(x_{E},y_{E})= f_{xx}(x_{E},y_{E})*f_{yy}(x_{E},y_{E})-f_{xy}(x_{E},y_{E})^{2}[/mm]
> ??
Nein, zu jedem der station. Punkte (ich erhalte 4 an der Zahl) stelle die Hessematrix auf und überprüfe deren Definitheit (das geht für [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrizen wie hier mit dem Determinantenkriterium, das du oben angegeben hast.)
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:52 Di 23.06.2009 | | Autor: | Marizz |
wenn ich die erste Bedingung in die zweite einsetze, kommt dann für y=2 und -2 raus und für x=3 und -3 raus
die stationären punkte:
(0,2)
(0,-2)
(3,-1)
(-3,-1)
stimmt das vorerst so?
dann rechne ich:
[mm] \Delta(0,2)=72 [/mm] >0
[mm] f_{xx}(0,2)= [/mm] 6 >0 also ein Tiefpunkt
[mm] \Delta(0,-2)=24 [/mm] >0
[mm] f_{xx}(0,-2)= [/mm] -2 <0 also ein Hochpunkt
[mm] \Delta(3,-1)=-36 [/mm] <0 also ein Sattelpunkt
[mm] \Delta(-3,-1)=-36 [/mm] <0 also ein Sattelpunkt
meine Punkte
TP(0,2,-5)
HP(0,-2,27)
TP1(3,-1,22)
TP2(-3,-1,22)
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Hallo nochmal,
> wenn ich die erste Bedingung in die zweite einsetze, kommt
> dann für y=2 und -2 raus und für x=3 und -3 raus
>
> die stationären punkte:
>
> (0,2)
> (0,-2)
> (3,-1)
> (-3,-1)
>
> stimmt das vorerst so?
>
> dann rechne ich:
>
> [mm]\Delta(0,2)=72[/mm] >0
> [mm]f_{xx}(0,2)=[/mm] 6 >0 also ein Tiefpunkt
>
> [mm]\Delta(0,-2)=24[/mm] >0
> [mm]f_{xx}(0,-2)=[/mm] -2 <0 also ein Hochpunkt
>
> [mm]\Delta(3,-1)=-36[/mm] <0 also ein Sattelpunkt
>
> [mm]\Delta(-3,-1)=-36[/mm] <0 also ein Sattelpunkt
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Alles richtig!
>
> meine Punkte
> TP(0,2,-5)
> HP(0,-2,27)
> TP1(3,-1,22)
> TP2(-3,-1,22)
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:04 Mi 24.06.2009 | | Autor: | Marizz |
Danke viiielmals! Hast mir sehr geholfen! :)
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Hallo,
> Danke viiielmals! Hast mir sehr geholfen! :)
Gerne 
Bis dann
schachuzipus
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Hallo nochmal,
eines noch:
du bist doch nun schon wahrlich lange genug dabei, um zu wissen, dass ein "Hallo" zur Begrüßung und ein "Tschüß und Danke" am Ende gerne gesehen sind ...
LG
schachuzipus
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