extremwertaufgabe+nebenbeding. < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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hey,
wir schreiben nächste woche eine arbeit und haben folgede aufgabe zum üben bekommen:
gesucht ist ein rechteck mit der diagonalen 15cm, das den größten flächeninhalt hat.
die lösung haben wir zur kontrolle schon bekommen und den rechenweg habe ich mir aus anderen beiträgen schon zusammengetüddelt nur ich versteh ihn nicht. nebenbedingung, hauptbedingung und zielfkt kein problem, aber das mit den ableitungen versteh ich den ganzen tag nicht. ableiten kann ich nur nicht mit wurzeln und wieso dann da auf einmal ^0,5 steht-.-
wäre nett wenn mir jemand die ableitung schritt für schritt erklären könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:16 Sa 01.10.2011 | | Autor: | chrisno |
Vielleicht reicht es Dir zu wissen, dass [mm] $\wurzel{x} [/mm] = [mm] x^{\bruch{1}{2}}$ [/mm] ist.
Allgemein: [mm] $\wurzel[n]{x^m} [/mm] = [mm] x^{\bruch{m}{n}}$.
[/mm]
Für das Ableiten wechselst Du in die Schreibweise mit den Exponenten und benutzt dann ganz normal die Ableitungsregeln. Ich denke Dir ist mit dieser Aussage mehr gedient, als mit einer Herleitung dieser Schreibweise.
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erstmal danke für deine antwort, aber das sagt mir leider nur wie ich die wurzel wegbekomme nicht wie die ableitung zustande kommt.
auf der anderen inetseite hab ich diese rechnung gefunden:
A = b*sqrt(c²-b²)
= b * (c²-b²)^(0,5)
A' = 1 * (c²-b²)^(0,5) + b * 0,5 * (c²-b²)^(-0,5) * (-2b) = 0
und der schritt zur ableitung ist mir ein rätsel.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:47 So 02.10.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast:
[mm] A=\overbrace{b}^{u}\cdot\overbrace{\sqrt{c^{2}-b^{2}}}^{v} [/mm]
Und das wird mit der Produktregel abgeleitet und für v' brauchst du auch noch die Kettenregel.
Also:
[mm] A=\underbrace{1}_{u'}\cdot\underbrace{\sqrt{c^{2}-b^{2}}}_{v}+\underbrace{b}_{u}\cdot\underbrace{\frac{1}{2\sqrt{c^{2}-b^{2}}}\cdot(-2b)}_{v'} [/mm]
Marius
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irgendwie verwirrt mich das immer mehr. wo kommen denn nu die wurzeln wieder her und was ist u und was ist v o.O
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die produktregel ist für mich grenzwertbetrachtung aber was hat das nun mit i-welchen flächen zu tun?
und kettenregel sagt mir gar nichts.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:30 So 02.10.2011 | | Autor: | M.Rex |
> die produktregel ist für mich grenzwertbetrachtung aber
> was hat das nun mit i-welchen flächen zu tun?
Du sollst doch die Funktion A(b) ableiten, um das Minimum zu bestimmen. Dass diese Funktion gerade einen Flächeninhalt beschreibt, ändert nichts an der Technik, über die Ableitung das Minimum zu bestimmen.
Und hier hast du eine Funktion, die aus einem Produkt besteht, also:
$ [mm] f(x)=u(x)\cdot [/mm] v(x) $
Und dafür gilt dann nunmal:
$ [mm] f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot [/mm] v'(x) $
> und kettenregel sagt mir gar nichts.
Wenn du verschachtelte Funktionen hast, brauchst du diese für die Ableitung.
Leider hast du in deinem Profil nicht deinen mathematischen Backgraund angegeben, daher können wir nicht beurteilen, welche Mittel dir zur Verfügung stehen. Und der Standardweg für diese Aufgabe ist eben über die Ableitung, und dafür brauchst du diese beiden Regeln.
Marius
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irgendwie wird die aufgabe für mich immer komplizierter. was soll denn nun u und was v sein?
ich seh da auch keinen zusammenhang zwischen der grenzwertbetrachtung und dieser aufgabe, also wie ich diese komische funktion aufstellen soll.
was meinen background angeht, mache kaufmännische assistenten. habs nicht angebeben weil da nur berufsschule 12. klasse stand und da gibts ja mehrere zweige.
sorry, dass ich hier so rumnerve wegen der aufgabe, aber falls es jmd beruhigt keiner aus meiner klasse kommt damit klar. vereinzelte aufgaben habe ich verstanden aber bei so einer aufgabe kriegt man ja n kind ^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:59 So 02.10.2011 | | Autor: | M.Rex |
> irgendwie wird die aufgabe für mich immer komplizierter.
> was soll denn nun u und was v sein?
Die beiden Faktoren (Je abhängig von x) in einer Funktion f(x)
> ich seh da auch keinen zusammenhang zwischen der
> grenzwertbetrachtung und dieser aufgabe, also wie ich diese
> komische funktion aufstellen soll.
Ihr habt doch sicherlich schon Hochpunkte/Tiefpunkte einer Funktioon bestimmt. Dazu bracut man eben die Stellen, an denen die Ableitung Null wird.
>
> was meinen background angeht, mache kaufmännische
> assistenten. habs nicht angebeben weil da nur berufsschule
> 12. klasse stand und da gibts ja mehrere zweige.
>
Ok, dann habt ihr aber den Begriff der Ableitung und der Extrempunkte schonmal gehört.
> sorry, dass ich hier so rumnerve wegen der aufgabe, aber
> falls es jmd beruhigt keiner aus meiner klasse kommt damit
> klar. vereinzelte aufgaben habe ich verstanden aber bei so
> einer aufgabe kriegt man ja n kind ^^
Eine gute Zusammenfassung des Themas findest du bei ![[]](/images/popup.gif) poenitz-net.de, schau dir mal die Kapitel 5.2 bis 5.4 genauer an.
Marius
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ich glaub wir schnacken da ein bisschen aneinander vorbei wenn nicht bin ich total blöd ^^
also ich schreib mal auf was ich nun versteh an der aufgabe und was nicht.
also als erstes die skizze ist ja das einfachste ^^
dann geg.: c=15 ges.: A max
Nebenbedingung:
c²=a²+b² | -b²
a²= c²-b² | [mm] \wurzel
[/mm]
a= [mm] \wurzel{c^{2}-b^{2}}
[/mm]
Hauptbedingung:
A=a*b
Zielfunktion:
A(a)= [mm] b*\wurzel{c^{2}-b^{2}} [/mm] |wurzel auflösen
A(a)= [mm] b*({c^{2}-b^{2}} )^{0.5}
[/mm]
so bis hierhin alles klar. nur wie man die ableitung hier bildet ist mir ein rätsel.
dann A'(a) null setzen um a oder b rauszubekommen
A'(a) = 1 * [mm] ({c^{2}-b^{2}} )^{0.5} [/mm] + b * 0,5 * [mm] ({c^{2}-b^{2}} )^{-0.5} [/mm] * (-2b) = 0
dann A''(a) um das Maximum zu bestimmen
dann a und b in die hauptbedingung einsetzen
lösung: a und b=10.6
fertig.. haha schön wärs ^^
gibt es nicht einen einfacheren weg ? :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:50 So 02.10.2011 | | Autor: | abakus |
> ich glaub wir schnacken da ein bisschen aneinander vorbei
> wenn nicht bin ich total blöd ^^
>
> also ich schreib mal auf was ich nun versteh an der aufgabe
> und was nicht.
>
> also als erstes die skizze ist ja das einfachste ^^
>
> dann geg.: c=15 ges.: A max
>
> Nebenbedingung:
>
> c²=a²+b² | -b²
> a²= c²-b² | [mm]\wurzel[/mm]
> a= [mm]\wurzel{c^{2}-b^{2}}[/mm]
>
> Hauptbedingung:
>
> A=a*b
>
> Zielfunktion:
>
> A(a)= [mm]b*\wurzel{c^{2}-b^{2}}[/mm] |wurzel auflösen
> A(a)= [mm]b*({c^{2}-b^{2}} )^{0.5}[/mm]
>
> so bis hierhin alles klar. nur wie man die ableitung hier
> bildet ist mir ein rätsel.
>
>
> dann A'(a) null setzen um a oder b rauszubekommen
>
> A'(a) = 1 * [mm]({c^{2}-b^{2}} )^{0.5}[/mm] + b * 0,5 *
> [mm]({c^{2}-b^{2}} )^{-0.5}[/mm] * (-2b) = 0
>
> dann A''(a) um das Maximum zu bestimmen
>
> dann a und b in die hauptbedingung einsetzen
>
> lösung: a und b=10.6
>
> fertig.. haha schön wärs ^^
>
> gibt es nicht einen einfacheren weg ? :(
Ja.
Die Fläche A(b)= [mm]b*({c^{2}-b^{2}} )^{0.5}[/mm] soll maximal werden. Wenn A maximal ist, hat auch der Ausdruck [mm] A^2=(b*({c^{2}-b^{2}} )^{0.5})^2[/mm] [/mm] ebenfalls seinen größtmöglichen Wert.
Nun gilt [mm] A^2=b^2(c^2-b^2)=b^2c^2-b^4.
[/mm]
Das kann man ganz leicht nach b ableiten und diese Ableitung Null setzen, ohne dass irgendwelche lästigen Wurzeln die Arbeit erschweren.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:05 So 02.10.2011 | | Autor: | HalloMoinNa |
man ich check überhaupt nix mehr :( kann mir nicht mal jmd das schritt für schritt erklären was man wo, wie u warum macht :(
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> man ich check überhaupt nix mehr :( kann mir nicht mal jmd
> das schritt für schritt erklären was man wo, wie u warum
> macht :(
Hallo,
diese Frage ist nun so gestellt, daß ein Antworten für Neueinsteiger etwas schwierig und aufwendig ist.
Für Beteiligte ist es möglicherweise (ich habe den Thread nicht studiert!) frustrierend, weil das Wesentliche bereits gesagt ist.
Nun ist es ja so, daß wir hier im Forum die Hilfebedürftigen gern an der Lösung ihrer Aufgaben beteiligen...
Vorschlag:
Du erstellst an dieser Stelle mal eine Zusammenfassung dessen, was Du bereits erreicht hast.
Du notierst (=kopierst) hierfür also die Aufgabenstellung und stellst Deinen bisherigen Lösungsansatz unter Beachtung dessen, was Dir bereits gesagt wurde, nachvollziehbar (also mit Gleichungen und ein wenig Text) zusammen bis zu der Stelle, an welcher Du dann scheiterst.
Ich vermute, daß man Dir dann wird helfen können.
Gruß v. Angela
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ich habe eben schon diese zusammenfassung geschrieben und weiter bin ich leider immernoch nicht. mit dem, was die anderen mir geschrieben haben kann ich leider nichts mit anfangen :(
also:
geg.: c=15
ges.: A max
Nebenbedingung:
c²=a²+b² | -b²
a²= c²-b² | [mm] \wurzel [/mm]
a= [mm] \wurzel{c^{2}-b^{2}} [/mm]
Hauptbedingung:
A=a*b
Zielfunktion:
A(a)= [mm] b*\wurzel{c^{2}-b^{2}} [/mm] |wurzel auflösen
A(a)= [mm] b*({c^{2}-b^{2}} )^{0.5} [/mm]
so bis hierhin alles klar. nur wie man die ableitung hier bildet ist mir ein rätsel.
dann A'(a) null setzen um a oder b rauszubekommen
A'(a) = 1 * [mm] ({c^{2}-b^{2}} )^{0.5} [/mm] + b * 0,5 * [mm] ({c^{2}-b^{2}} )^{-0.5} [/mm] * (-2b) = 0
dann A''(a) um das Maximum zu bestimmen
dann a und b in die hauptbedingung einsetzen
lösung: a und b=10.6
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> A(a)= [mm]b*({c^{2}-b^{2}} )^{0.5}[/mm]
Hallo,
das ist nicht A(a), sondern A(b).
Ich setze jetzt auch für c mal ein, daß c=15.
Damit haben wir [mm] A(b)=b*(225-b^2)^{0.5}.
[/mm]
Wenn ich Dich recht verstehe, ist Dir immer noch nicht klar, wie man zur Abeitung kommt.
Es wurde zwar alles schon erklärt, aber ich fasse es nochmal zusammen:
Ableiten wollen wir [mm] A(b)=\underbrace{b}_{=f}*\underbrace{(225-b^2)^{0.5}}_{g}.
[/mm]
Erinnere die Produktregel: (f*g)'=f'g+g'f.
Also ist
[mm] A'(b)=(b)'*(225-b^2)^{0.5}+((225-b^2)^{0.5})'*b
[/mm]
[mm] =1*(225-b^2)^{0.5}+((225-b^2)^{0.5})'*b
[/mm]
Nun haben wir noch die Abeitung von [mm] h(b)=(225-b^2)^{0.5} [/mm] zu bestimmen.
Dies ist eine Verkettung zweier Funktionen: in die äußere Funktion [mm] (...)^{0.5} [/mm] wurde für ... der die innere Funktion [mm] 225-b^2 [/mm] eingesetzt.
Da es eine Verkettung ist, muß man die Kettenregel
"Ableitung der Verkettung = äußere * innere Abeitung"
verwenden.
Also ist [mm] h'(b)=((225-b^2)^{0.5})'=\underbrace{0.5*(225-b^2)^{-0.5}}_{aeussere}*\underbrace{(-2b)}_{innere} =-b*(225-b^2)^{-0.5},
[/mm]
so daß man insgesamt hat
A'(b) [mm] =1*(225-b^2)^{0.5}+((225-b^2)^{0.5})'*b
[/mm]
[mm] =1*(225-b^2)^{0.5}+(-b*(225-b^2)^{-0.5})*b
[/mm]
[mm] =(225-b^2)^{0.5}-b^2*(225-b^2)^{-0.5}.
[/mm]
Nun =0 setzen usw.
Wenn mit der Ableiterei jetzt - nach etwas Nachdenken mit Stift und Papier - noch irgendetwas unklar ist, sag' genau, an welcher Stelle.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 So 02.10.2011 | | Autor: | chrisno |
Hallo,
in der Tat hattest Du schon die Zusammenfasung geschrieben.
> A(b)= [mm]b*\wurzel{c^{2}-b^{2}}[/mm] |wurzel auflösen
Denn der Ausdruck gibt an, wie groß die Fläche für ein bestimmtes b ist.
> A(b)= [mm]b*({c^{2}-b^{2}} )^{0.5}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Die Wurzel umzuschreiben ist für die Lösung nicht nötig. Also vergiss die Zeile mal.
>
> so bis hierhin alles klar. nur wie man die ableitung hier
> bildet ist mir ein rätsel.
>
Das ist nun ein großes Problem.
Bitte schreibe, welche Ableitungsregeln Du kennst. Da Du die Kettenregel nicht kennst, halte ich es nicht für sinnvoll, sie hier in einem Crashkurs beizubringen.
An die anderen Helfer: Darstellungen der Art u(x)'v(x) scheinen zu abstrakt zu sein. Diesen langen Weg sollten wir vielleicht vermeiden.
Der Vorschlag, der wahrscheinlich für Dich am einfachsten ist, ist der mit dem quadrieren.
Das Argument lautet: Wenn ich eine Funktion habe, die bei einem bestimmten Wert maximal wird, dann wird die quadrierte Funktion für diesen Wert auch maximal.
Also A(b) wird quadriert, damit Du die Wurzel los bist. Nun braucht die Funktion einen neuen Namen, es ist ja nicht mehr die Fläche, sondern das Quadrat davon. Also nenne ich sie Q(b).
$Q(b) = (A(b))^2 = (b*\wurzel{c^2-b^2})^2 = b^2 * (c^2-b^2}) = b^2 * c^2 - b^4$
Kannst Du diese Funktion nun ableiten?
>
> dann A'(a) null setzen um a oder b rauszubekommen
Nun mach das mit Q'(b)
>
> dann A''(a) um das Maximum zu bestimmen
Q''(b_e) berechnen, um zu Prüfen, ob es sich auch um ein Maximum handelt
>
> dann a und b in die hauptbedingung einsetzen
Dann das so bestimmte b in A(b) einsetzen um die maximale Fläche zu berechnen.
Damit kannst Du dann a ausrechnen. An a kommst Du auch über die Nebenbedingung.
>
> lösung: a und b=10.6
Ich bin gespannt, was herauskommt.
Ein abschließender Kommentar:
Wenn ihr im Unterricht die Ableitungsregeln für diese Aufgabe nicht gemacht habt, dann kann nur der Weg mit dem Quadrieren der sein, den ihr nehmen könnt.
Eigentlich kann in der Arbeit so eine Aufgabe kaum dran kommen. Ruf mal den Lehrer an und frage, ob er (sie) sich mit der Aufgabe vertan hat. Vielleicht handelt es sich auch um eine Beispielaufgabe nur für diejenigen, die eine sehr gute Note bekommen sollen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 So 02.10.2011 | | Autor: | abakus |
> ich glaub wir schnacken da ein bisschen aneinander vorbei
> wenn nicht bin ich total blöd ^^
>
> also ich schreib mal auf was ich nun versteh an der aufgabe
> und was nicht.
>
> also als erstes die skizze ist ja das einfachste ^^
>
> dann geg.: c=15 ges.: A max
>
> Nebenbedingung:
>
> c²=a²+b² | -b²
> a²= c²-b² | [mm]\wurzel[/mm]
> a= [mm]\wurzel{c^{2}-b^{2}}[/mm]
>
> Hauptbedingung:
>
> A=a*b
>
> Zielfunktion:
>
> A(a)= [mm]b*\wurzel{c^{2}-b^{2}}[/mm] |wurzel auflösen
> A(a)= [mm]b*({c^{2}-b^{2}} )^{0.5}[/mm]
>
> so bis hierhin alles klar. nur wie man die ableitung hier
> bildet ist mir ein rätsel.
>
>
> dann A'(a) null setzen um a oder b rauszubekommen
>
> A'(a) = 1 * [mm]({c^{2}-b^{2}} )^{0.5}[/mm] + b * 0,5 *
> [mm]({c^{2}-b^{2}} )^{-0.5}[/mm] * (-2b) = 0
>
> dann A''(a) um das Maximum zu bestimmen
>
> dann a und b in die hauptbedingung einsetzen
>
> lösung: a und b=10.6
>
> fertig.. haha schön wärs ^^
>
> gibt es nicht einen einfacheren weg ? :(
Ja.
Die Fläche A(b)= [mm]b*({c^{2}-b^{2}} )^{0.5}[/mm] soll maximal werden. Wenn A maximal ist, hat auch der Ausdruck [mm] A^2=(b*({c^{2}-b^{2}} )^{0.5})^2 [/mm] ebenfalls seinen größtmöglichen Wert.
Nun gilt [mm] A^2=b^2(c^2-b^2)=b^2c^2-b^4.
[/mm]
Das kann man ganz leicht nach b ableiten und diese Ableitung Null setzen, ohne dass irgendwelche lästigen Wurzeln die Arbeit erschweren.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 So 02.10.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> ich glaub wir schnacken da ein bisschen aneinander vorbei
> wenn nicht bin ich total blöd ^^
>
> also ich schreib mal auf was ich nun versteh an der aufgabe
> und was nicht.
>
> also als erstes die skizze ist ja das einfachste ^^
>
> dann geg.: c=15 ges.: A max
>
> Nebenbedingung:
>
> c²=a²+b² | -b²
> a²= c²-b² | [mm]\wurzel[/mm]
> a= [mm]\wurzel{c^{2}-b^{2}}[/mm]
Korrekt
>
> Hauptbedingung:
>
> A=a*b
Korrekt
>
> Zielfunktion:
>
> A(a)= [mm]b*\wurzel{c^{2}-b^{2}}[/mm] |wurzel auflösen
> A(a)= [mm]b*({c^{2}-b^{2}} )^{0.5}[/mm]
Korrekt.
>
> so bis hierhin alles klar. nur wie man die ableitung hier
> bildet ist mir ein rätsel.
>
>
> dann A'(a) null setzen um a oder b rauszubekommen
>
> A'(a) = 1 * [mm]({c^{2}-b^{2}} )^{0.5}[/mm] + b * 0,5 *
> [mm]({c^{2}-b^{2}} )^{-0.5}[/mm] * (-2b) = 0
Die Ableitung ist korrekt, man hat sie, wie oben erkärt, mit der Produkt- und Kettenregel bestimmt.
Hast du dir den Link zu Poenitz-net.de mal angeschaut? Dort werden die Ketten und Produktregel ausführlich erklärt.
>
> dann A''(a) um das Maximum zu bestimmen
>
> dann a und b in die hauptbedingung einsetzen
Korrekt
>
> lösung: a und b=10.6
>
> fertig.. haha schön wärs ^^
>
Die Lösung ist korrekt.
$ [mm] A'(b)=\underbrace{1}_{u'}\cdot\underbrace{\sqrt{c^{2}-b^{2}}}_{v}+\underbrace{b}_{u}\cdot\underbrace{\frac{1}{2\sqrt{c^{2}-b^{2}}}\cdot(-2b)}_{v'} [/mm] $
[mm] =\sqrt{c^{2}-b^{2}}-\frac{b^{2}}{\sqrt{c^{2}-b^{2}}}
[/mm]
Also:
[mm] 0=\sqrt{c^{2}-b^{2}}-\frac{b^{2}}{\sqrt{c^{2}-b^{2}}}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \sqrt{c^{2}-b^{2}}=\frac{b^{2}}{\sqrt{c^{2}-b^{2}}}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow c^{2}-b^{2}=b^{2}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow c^{2}=2b^{2}
[/mm]
Mit c=15 also:
[mm] 2b^{2}=225
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow b=\pm\sqrt{121,5}\approx\pm10,6
[/mm]
Damit passt deine Lösung b=10,6 und damit b=10,6
> gibt es nicht einen einfacheren weg ? :(
Nur mit dem Trick, dass man das Quadrat der Zielfunktion betrachtet, wie Abakus vorschlug. Dieses ändert die x-Koordinate der Extrempunkte nämlich nicht.
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:56 So 02.10.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wurzeln schreibe wie chrisno vorgeschlagen hat, um.
Es gilt:
[mm] f(x)=\sqrt[n]{x^{z}}=x^{\frac{z}{n}}
[/mm]
Also:
[mm] f'(x)=\frac{z}{n}\cdot x^{\frac{z}{n}-1}
[/mm]
Das ergibt eben, und das kann man sich auch ruhig merken (bzw es steht in den meisten Formelsamlungen:
[mm] f(x)=\sqrt{x}=\sqrt[2]{x^{1}}=x^{\frac{1}{2}}
[/mm]
Also:
[mm] f'(x)=\frac{1}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}
[/mm]
Marius
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Produktregel
