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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:33 Di 14.09.2004 | | Autor: | magister |
hi
folgendes bsp
das durch die gerde x=8 begrenzte parabelsegment der parabel y²=4x rotiert um die x achse. diesem rot.paraboloid soll der volumsgrösste zylinder und die volumsgrösste quadr. pyramide deren spitze in s(8/0) liegt eingeschrieben werden. berechne die beiden maximalen volumina und das volumen des paraboloids.
okay. grapisch sieht das so aus. parabel im mit scheitel im ursprung ist nach rechts geöffnet. bei x=8 läuft eine gerade parallel zur y achse.
auch das volumen der parabel berechnen ist kein problem:
V = pi*integral von null bis 8 mit funktion 4x ...ergebnis ist 128*pi
nur beim zylinder hab i a problem ....
ich würde folgendes ansetzten aber das stimmt nicht.
HB: r²*pi*h
NH: strahlensatz--> y:x = h:r
y...höhe parabel
x...halbe länge der parabel
h..höhe des zylinder
r...halbe länge des zylinders , also radius
aber da kommt beim umforen der NB und einsetzen in HB und ableiten 3x²=0 und somit ist x Null, das stimmt ja ned
wo liegt der fehler ???
bitte helfen, danke im voraus
magister
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 Di 14.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Magister
> hi
>
> folgendes bsp
>
> das durch die gerde x=8 begrenzte parabelsegment der
> parabel y²=4x rotiert um die x achse. diesem rot.paraboloid
> soll der volumsgrösste zylinder und die volumsgrösste
> quadr. pyramide deren spitze in s(8/0) liegt eingeschrieben
> werden. berechne die beiden maximalen volumina und das
> volumen des paraboloids.
>
> okay. grapisch sieht das so aus. parabel im mit scheitel im
> ursprung ist nach rechts geöffnet. bei x=8 läuft eine
> gerade parallel zur y achse.
> auch das volumen der parabel berechnen ist kein problem:
> V = pi*integral von null bis 8 mit funktion 4x ...ergebnis
> ist 128*pi
>
Bis hierhin ist alles korrekt! Super!
> nur beim zylinder hab i a problem ....
> ich würde folgendes ansetzten aber das stimmt nicht.
> HB: r²*pi*h
> NH: strahlensatz--> y:x = h:r
>
Hier sehe ich nicht, wo du einen Strahlensatz anwenden kannst!
Ich würde eher so vorgehen:
Wenn du von $x=8$ die Höhe des Zylinders einzeichnest, dann kommst du zum Punkt $8-h$ auf der x-Achse. Und dort muss der Radius $r$ bis zur Parabel hinauf reichen. Also: [mm] $r=2*\wurzel{8-x}$
[/mm]
Vielleicht kommst du jetzt weiter?
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 Di 14.09.2004 | | Autor: | magister |
danke für deine flotte antwort und den tipp.
leider bin ich etwas verwirrt durch den ansatz, denn ich kann ihn nicht nachvollziehen.
strahlensatz sehe ich bei höhe parabel:halbe radius parabel = höhe zylinder : halbe radius zylinder
falsch ?
bitte weitere tipps
lg magister
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:16 Di 14.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Magister
> danke für deine flotte antwort und den tipp.
> leider bin ich etwas verwirrt durch den ansatz, denn ich
> kann ihn nicht nachvollziehen.
Dann solltest du nochmals eine Zeichnung machen!
> strahlensatz sehe ich bei höhe parabel:halbe radius
> parabel = höhe zylinder : halbe radius zylinder
> falsch ?
>
Für einen Strahlensatz braucht es doch irgendwo ähnliche Dreiecke. Wo siehst du denn diese?
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Di 14.09.2004 | | Autor: | magister |
kann mir bitte wer erklären, warum r = 2*wurzel(8-x) sein soll.
bzw. wie ich die NB definieren kann. HB ist es formuliert
lg magister
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:53 Di 14.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Magister
also: die Funktion lautet ja: [mm] $y^{2}=4x$
[/mm]
Wenn du das jetzt nach y "umstellst", erhältst du:
[mm] $y=2*\wurzel{x}$
[/mm]
Wie wir (?) ja festgestellt haben (anhand einer Zeichnung), bildet die Hälfte des Zylinders im Querschnitt ein Rechteck. Der rechte Rand des Rechteckes, welches dann durch die Rotation um die x-Achse zur Grundfläche wird, liegt bei $x=8$.
Wenn du nun von $x=8$ ausgehend nach links der x-Achse entlang die Höhe $h$ des Zylinders einträgst, dann liegt doch der linke Punkt des Zylinders bei $x=8-h$.
Soweit alles klar?
Und jetzt muss doch die Ecke des Rechteckes genau senkrecht darüber die Parabel schneiden. Somit kann man doch einfach den x-Wert in der Funktionsgleichung einsetzen:
[mm] $y=2*\wurzel{x}$; [/mm] $x=(8-h) [mm] \Rightarrow y=2*\wurzel{8-h}$
[/mm]
Alles nachvollziehbar?
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:05 Di 14.09.2004 | | Autor: | magister |
vielen dank für deine geduld.
jetzt ist alles sonnenklar.
entschuldige meine geistige spätzündung.
liebe grüsse
magister
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:50 Mi 15.09.2004 | | Autor: | magister |
bei dem beispiel soll auch die volumsgrösste quadr. pyramide deren spitze in S(8/0) liegt, eingeschrieben werden.
mein ansatz:
weiß, bei x=0 ist y=0 und bei x=8 ist y=2*wurzel(8)=5,6569, also a/2.
somit weiss ich, a = 11,31.
HB: a²*h/3
NB: h1² = h² + (a/2)²
--> h1 = 9.8 ....stimmt laut zeichnung
brauch i zwar gor ned, aber egal. ich kriege auf jeden fall fürs volumen
341,33 raus.
kann das bitte wer überprüfen, ob kein denkfehler enthalten ist
lg magister und danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 Mi 15.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Magister
obwohl FriedrichLaher in seiner typische Art die ganze Lösung vorweggenommen hat, glaube ich doch, dass deine Ueberlegungen noch ein wenig kommentiert werden sollten. Ich glaube nämlich: nur wer sich seine Denkfehler bewusst macht, kann diese die Zukunft vermeiden. Schnell hingeschmierte Ergebnisse ohne Begründungen leisten in dieser Beziehung wohl nicht sehr viel!
> bei dem beispiel soll auch die volumsgrösste quadr.
> pyramide deren spitze in S(8/0) liegt, eingeschrieben
> werden.
>
> mein ansatz:
> weiß, bei x=0 ist y=0 und bei x=8 ist
> y=2*wurzel(8)=5,6569, also a/2.
Da sind gleich zwei Fehler drin:
1) Wie die Aufgabenstellung ja verlangt, soll bei Punkt (8,0) nicht der Boden (die Grundfläche) der Pyramide sein, sondern die Spitze! In deiner Zeichnung sollte also hier die Spitze eines gleichschenkligen Dreieckes sein, deren Schenkel sich nach links erstrecken. Einer schräg nach oben, der ander symmetrisch zur x-Achse schräg nach unten.
2) Was bezeichnest du mit $a$? Sollte dies die Seite des Quadrates sein, welche die Grundfläche der Pyramide bildet? Dann ist die Formel für das Volumen falsch! Denn: hier handelt es sich nicht um die Hälfte einer Seitenfläche des Quadrates, sondern um die Hälfte der Diagonale. Mach dazu doch mal eine Skizze, die sich ergibt, wenn dein Blick parallel zur x-Achse geht. Dann ist die Schnittfläche des Paraboloids (bei $x=8$, oder auch bei anderen x-Werten) als Kreis zu sehen, und die Pyramidengrundfläche als einbeschriebenes Quadrat.
Ich denke, der Rest der Aufgabe kann, mit diesen Erkenntnissen, genau gleich gelöst werden wie die Sache mit dem einbeschriebenen Zylinder:
a) Von $x=8$ nach links die Höhe $h$ zeichnen.
b) Daraus die Diagonale der Grundfläche berechnen (oder die Hälfte davon, wie du willst.
c) Daraus die Quadratseite errechnen, als Funktion von $h$ (Nebenbedingung)
d) Die Volumenformel der Pyramide als Funktion von $h$ bestimmen (NB in HB einsetzen)
e) Volumenformel nach $h$ ableiten und $0$ setzen.
So, ich hoffe, du kannst das alles nachvollziehen!
Melde dich doch bitte mit dem Ergebnis oder weiteren Fragen wieder! 
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:42 Mi 15.09.2004 | | Autor: | magister |
danke für deine ausführliche formulierung.
werde mir das beispiel jetzt ansehen, durchdenken und dann die ergebnisse posten.
danke, lg magister
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 Mi 15.09.2004 | | Autor: | magister |
es zwickt ein wenig. wäre über ergänzende ansätze dankbar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 Mi 15.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo magister
wo zwickts denn?
Man kann ja genau so vorgehen, wie beim Zylinder.
Die Formel für die Pyramide hattest du ja (HB):
[mm] $V=\bruch{a^{2}*h}{3}$
[/mm]
Wobei $a$ die Seite der Pyramidengrundfläche ist.
Jetzt zeichnest du von $x=8$ aus nach links, genau so wie beim Zylinder, die Höhe der Pyramide ein und landest beim Punkt $((8-h),0)$
Dort hat die Parabel den Wert [mm] $2*\wurzel{8-h}$
[/mm]
Dieser Wert ist aber nicht die halbe Quadratseite, sondern die halbe Quadratdiagonale!
Die Quadratseite $a$ errechnet sich ja aus der Quadratdiagonale $d$ wie folgt (Pythagoras):
[mm] $2a^{2}=d^{2}$
[/mm]
Da für uns die halbe Diagonale die Länge [mm] $2*\wurzel{8-h}$ [/mm] hat, ergibt sich für die Quadratseite:
[mm] $2a^{2}=(2*2*\wurzel{8-h})^{2}=16*(8-h)$
[/mm]
oder
[mm] $a^{2}=8*(8-h)$
[/mm]
Dies in der HB eingesetzt:
[mm] $V=\bruch{a^{2}*h}{3}=\bruch{8*(8-h)*h}{3}$
[/mm]
Kommst du jetzt weiter?
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:12 Mi 15.09.2004 | | Autor: | magister |
ja danke. alles klar. bin schon auf den blöden fehler, dank dir, draufgekommen. hatte folgendes geschrieben und mir immer wieder die zähne dran ausgebissen: 2a² = a² ....naja, man sollte nicht futzeln.
okay.
beispiel jetzt gedanklich gelöst (bekommen)
danke
lg magister
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:28 Mi 15.09.2004 | | Autor: | magister |
hi paulus
danke nochmals für deine geduldigen auskünfte, die sehr hilfreich waren.
die ergebnisse, bzw. das ergebnis ist
V = 5,6569² * 4 / 3 = 128/3 = 42,667
danke lg magister
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:48 Mi 15.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Magister
>
> danke nochmals für deine geduldigen auskünfte, die sehr
> hilfreich waren.
Das freut mich!
> die ergebnisse, bzw. das ergebnis ist
>
> V = 5,6569² * 4 / 3 = 128/3 = 42,667
>
Ja, das habe ich auch. Nur weiss ich nicht, warum man so fleissig mit Dezimalzahlen rechnet.
[mm] $V=\bruch{(2*\wurzel{8})^{2}*4}{3}=\bruch{4*8*4}{3}=\bruch{128}{3}$
[/mm]
wäre doch schöner, oder nicht? (Schliesst garantiert Rundungsfehler aus und belässt dem Gleichheitszeichen die volle Bedeutung)
Mit lieben Grüssen
Paul
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Zylinderradius $ [mm] 2\sqrt{x} [/mm] $, Zylinderhöhe $ 8 - x $
Zylindervolumen $V(x) = [mm] \pi (2\sqrt{x})^2(8-x) [/mm] = [mm] 4\pi [/mm] x(8-x) $
für
voluminösesten Zylinder $ [mm] V^{'}(x) [/mm] = 0 = [mm] 4\pi [/mm] (8 - 2x) $
also $ x = 4 $, Radius $ r = [mm] 2\sqrt{4} [/mm] = 4$, Höhe h = 4
Volumen [mm] $64\pi$
[/mm]
Die
voluminöseste geforderte Pyramide kann nur aus obigem Zylinder
herausgeschnitten werden,
hat also die Quadratseitenlänge $a = [mm] r\sqrt{2}$
[/mm]
und
das Volumen [mm] $\frac{a^2*h}{3}=\frac{16*2*4}{3}=\frac{128}{3}$
[/mm]
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