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| Aufgabe | Eine funktion f mit graph K ist gegeben durch
[mm] f(x)=x+1+e^{21-x} [/mm] ; x [mm] \in \IR
[/mm]
a)skizzieren sie K und seine asymptote
b)Die gerade mit der gleichung x=u mit u>0 schneidet K im punkt P und die asymptote von K im punkt Q. bestimmen sie u so, dass das dreieck pqr mit R(0/1) extremalen inhalt besitzt.
c)geben sie die art des extremums und seinen wert an |
schönen guten morgen!
zu a habe ich eine kleine frage und zwar:
der vorgang wie man zur asymptote kommt ist mir klar nur
im buch haben die nicht die ganze gegebene funktion benutzt sondern so gerechnet dass sie nur
für x-->+ [mm] \infty [/mm] strebt [mm] e^{1-x}--> [/mm] 0 , und folglich ist die gerade mit der gleichung Y=x+1 die schiefe asymptote von K für x--> [mm] +\infty.
[/mm]
meine frage jetzt: muss man nur [mm] e^{1-x}--> [/mm] 0 berechnen also nicht die ganze funktion nehme´n? und bracuht man x--> [mm] -+\infty [/mm] zu berechnen (viell. weil nur nach positiven werten gefragt ist??!)
zu b hab ich die lösung, aber ich versteh sie nicht so ganz!
zu b) das dreieck pqr hat die strecke [mm] \overline{PQ} [/mm] mit P(u/f(u)) und Q (u/u+1) als grundseite und das lot von R auf die gerade PQ als Höhe.
damit gilt der flächeninhalt A(u) des dreiecks PQR:
A(u)= [mm] \bruch{1}{2}u* [/mm] (f(u))-(u-1)) = [mm] ((u+1-e^{1-u})
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}*e^{1-u}.
[/mm]
mit produkt und kettenregel erhält man daraus:
A'(u)= [mm] \bruch{1}{2}*(1-u)*e^{1-u} [/mm] und A''(u)= [mm] \bruch{1}{2}*e^{1-u}
[/mm]
wegen [mm] e^{1-u}>0 [/mm] ergibt sich aus A'(u)=0 und damit U=a
da A''(u) = -1/2<0 gilt, hat A(u) an der stelle 1 ein relatives Maximum.
das was ich nicht verstehe:
1)der erste satz asl das dreieck PQR... bis zur aufstellung der gleichung. vor allem das mit dem lot von R!!! und wie die danach auf die folgende gleichung kommen.
danke im voraus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:47 Mo 09.04.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Eine funktion f mit graph K ist gegeben durch
> [mm]f(x)=x+1+e^{21-x}[/mm] ; x [mm]\in \IR[/mm]
>
> a)skizzieren sie K und seine asymptote
> b)Die gerade mit der gleichung x=u mit u>0 schneidet K im
> punkt P und die asymptote von K im punkt Q. bestimmen sie u
> so, dass das dreieck pqr mit R(0/1) extremalen inhalt
> besitzt.
> c)geben sie die art des extremums und seinen wert an
> schönen guten morgen!
>
> zu a habe ich eine kleine frage und zwar:
>
> der vorgang wie man zur asymptote kommt ist mir klar nur
> im buch haben die nicht die ganze gegebene funktion benutzt
> sondern so gerechnet dass sie nur
>
> für x-->+ [mm]\infty[/mm] strebt [mm]e^{1-x}-->[/mm] 0 , und folglich ist die
> gerade mit der gleichung Y=x+1 die schiefe asymptote von K
> für x--> [mm]+\infty.[/mm]
>
> meine frage jetzt: muss man nur [mm]e^{1-x}-->[/mm] 0 berechnen also
> nicht die ganze funktion nehme´n? und bracuht man x-->
> [mm]-+\infty[/mm] zu berechnen (viell. weil nur nach positiven
> werten gefragt ist??!)
>
Es gilt generell, dass die e-Funktion viel Schneller den Grenzwert erreicht, als der gebrochen- oder ganzrationale Teil.
Ich weiss, das ist jetzt nicht besonders mathematisch, aber es ist eine gute Näherung.
> zu b hab ich die lösung, aber ich versteh sie nicht so
> ganz!
>
> zu b) das dreieck pqr hat die strecke [mm]\overline{PQ}[/mm] mit
> P(u/f(u)) und Q (u/u+1) als grundseite und das lot von R
> auf die gerade PQ als Höhe.
>
Also: Ein Dreieck hat die Flache [mm] A=\bruch{g*h}{2}, [/mm] also
[mm] \bruch{\text{Grundseite}*\text{Höhe}}{2}
[/mm]
Hier liegt die Grundseite auf der x-Achse und beginnt im Punkt R(0/1) und endet in Punkt P(0/u), hat also die Länge u-1
Der Punkt Q hat nun die Koordinaten u/f(u). Und da er "direkt über" P leigt, ist die Strecke von f(u) bis zur x-Achse, also das Lot von f(u) auf u die Höhe des Dreiecks.
Und jetzt gilt also:
[mm] A(u)=\bruch{1}{2}(\underbrace{u-1}_{\text{Grundseite}})*(\underbrace{f(u)}_{\text{Höhe}})
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}(u-1)*(u+1+e^{21-u})
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}(u²+u+ue^{21-u}-u-1-e^{21-u})
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}(u²-1-(u-1)e^{21-u})
[/mm]
Und von dieser Funktion suchst du jetzt den Hochpunkt mit dem "Standardverfahren", also über die Ableitung.
Marius
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