extremwertaufgabe < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:47 Do 28.06.2007 | | Autor: | vivo |
Hallo Leute,
bestimme Minima und Maxima
[mm] f(x,y)=e^{-(x^2+y^2)}(2x^2+3y^2) [/mm] , auf M={(x,y) [mm] \in \IR [/mm] | [mm] x^2+y^2 \le [/mm] 4}
[mm] \nabla [/mm] f(x,y) = 0 für [mm] P_1(0,0) [/mm] , [mm] P_2 [/mm] (0,-1), [mm] P_3(0,1), P_4(-1,0), P_5(1,0) [/mm]
augrund Hesse-Matrix [mm] P_1 [/mm] lokales Minimum, [mm] P_2 [/mm] und [mm] P_3 [/mm] lokale Maxima, [mm] P_4 [/mm] und [mm] P_5 [/mm] Sattelpunkte
Randuntersuchung:
[mm] x=\pm\wurzel{4-y^2} [/mm] in f, Ableitung=0 ergibt [mm] P_6 [/mm] (2,0) und [mm] P_7 [/mm] (-2,0) zweite Ableitung >0 deshalb Minima
[mm] y=\pm\wurzel{4-x^2} [/mm] in f, Ableitung=0 ergibt [mm] P_6 [/mm] (0,-2) und [mm] P_7 [/mm] (0,2) zweite Ableitung <0 deshalb Maxima
so weit alles klar jetzt muss getestet werden ob die Extrema auf dem Rand auch Extrema der Funktion sind:
hier wurde von meinem Übungsleiter verwendet, dass [mm] \nabla f(0,-2)=\vektor{0 \\ 18e^{-4}}
[/mm]
[mm] \nabla f(0,2)=\vektor{0 \\ -18e^{-4}}
[/mm]
[mm] \nabla f(-2,0)=\vektor{8e^{-4} \\ 0}
[/mm]
[mm] \nabla f(2,0)=\vektor{-8e^{-4} \\ 0}
[/mm]
jetzt hat er ein zweidimensionales Koordinatensystem mit den Punkten (0,-2), (0,2), (-2,0) und (2,0) gezeichnet und die [mm] \nabla [/mm] eingezeichnet, diese zeigen alle Richtung Ursprung (globales Minimun).
Hieraus schließt er jetzt irgendwie ob die vier Punkte auch Extrema der Funktion sind!
Um eine Erklärung dieser Schlussfolgerung wäre ich sehr dankbar!
Noch eine kleine Frage: woran sieht man, dass (0,0) ein globales Minimum ist? (weil der Definitionsbereich kompakt und die Funktion stetig ist und deshalb ein globales Min und Max annhemen muss???? und alle Funktionswerte immer positiv sind und deshalb (0,0) der tiefste sein muss?)
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:11 Do 28.06.2007 | | Autor: | kochmn |
Hallo Vivo,
hmmm... auf den ersten Blick verstehe ich die Argumentation Deines
Tutors auch nicht (und habe heute Abend ehrlich gesagt auch keine
große Meinung mehr, mich tiefer hineinzudenken). Aber ich könnte
Dir einen Work-Around vorschlagen:
Auf dem Rand Deiner Menge, nämlich jenen (x,y), die
[mm] x^2+y^2 [/mm] = 4 [mm] \gdw y=\pm\wurzel{4-x^2}
[/mm]
erfüllen, könntest Du auch einfach die Funktionen
[mm] g_1(x) [/mm] := [mm] f(x,\wurzel{4-x^2})
[/mm]
und
[mm] g_2(x) [/mm] := [mm] f(x,-\wurzel{4-x^2})
[/mm]
auf ganz herkömmliche Weise nach Extrema abklopfen. Dabei kannst
Du [mm] g_2(x) [/mm] sogar ignorieren, da f(x,y) eigentlich [mm] f(x^2,y^2)
[/mm]
ist und damit ohnehin f(x,y)=f(x,-y).
Und Deine zweite Frage hast Du schon selbst beantwortet:
f(x,y)>0 für alle [mm] (x,y)\not= [/mm] (0,0)
und
f(0,0)=0.
Darum ist bei (0,0,f(0,0)) ein globales Minimum von f.
Liebe Grüße
Markus-Hermann.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 Do 28.06.2007 | | Autor: | vivo |
hallo,
vielen dank für deine antwort! ja genau das habe ich ja gemacht [mm] g_1 [/mm] und [mm] g_2 [/mm] bilden und dann nach extrema abkolpfen und dann kommen (0,2) (0,-2) (2,0) (-2,0) raus!
und jetzt muss doch getestet werden ob diese auch Extrema der Funktion sind, oder? und dass hat er eben mit den [mm] \nabla [/mm] wie oben beschrieben gemacht! und das versteh ich eben nicht!
man könnte dass doch auch mit einer [mm] \varepsilon [/mm] umgebung zeigen oder??
leider weiß ich nicht wie!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:13 Fr 29.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo vivo
Dein Tutor hat 2 dinge durcheinander gebracht.
1. den Rand parametrisieren, in die fkt einsetzen,damit hat man ne 1-d Funktion und dann Randmaxima bzw. kritische Punkte durch einfaches Differenzieren und 0 setzen.
2. Methode um Randmaxima zu bestimmen: der grad der Funktion steht senkrecht auf dem Rand. da der Rand ein Kreis ist, steht grad senkrecht auf dem Kreis, wenn grad in Richtung des Radius, also zum Nullpunkt weisst.
Dass er euch das so gezeigt hat, heisst er kann die beiden Methoden auch nicht wirklich unterscheidet.
in Wirklichkeit hätte man bei der 2. Methode noch die fkt g(x,y)=const, also [mm] g(x,y)=x^2+y^2 [/mm] den grad bestimmen müssen, unnd feststellen wo grad f parallel grad g ist. das habt ihr hier im Prinzip gemacht, weil grad g eben auch Richtung Radius zeigt.
oder du betrachtest die Ableitung der Randkurve und bestimmst ob grad senkrecht darauf steht.
Dass deine pkte kritische pkte sind, kannst du schon durch einsetzen der parametrisierten Randkurve in die fkt und ableiten fesstellen.
erst mal Ende weil ich weg muss.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 Fr 29.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
nochmal zu diner frage:
Du hast anscheinend den Rand, [mm] x^2+y^2=4 [/mm] stückweise parametrisiert, also z. Bsp. [mm] y=\wurzel{4-x^2} [/mm] und dann y' gebildet, damit findest du n waagerechte Tangente an die Randkurve, aber dass der Kreis die bei (0,2) hat wusstest du schon vorher! das hat NICHTS mit extrema der fkt zu tun!
ZUFÄLLIg steht diese waagerechte Tangente in diesem Fall senkrecht auf dem Grad der fkt. und deshalb hast du da ein mögliches extr. Das ist aber kein allgemeines mögliches Verfahren. Du müsstest eigentlich deine Prameterform in f einsetzen!
$ [mm] f(x,y)=e^{-(x^2+y^2)}(2x^2+3y^2) [/mm] $
daraus [mm] f(x_k,y_k)=e^{-4}*(8+(4-x^2))
[/mm]
das differenzieren und f'=0 bestimmen!
Da du mit deiner Parametrisierung nur einen Halbkreis erreichst wär es bei nem Kreis eigentlich besser [mm] x=rcos\\phi; y=rsin\phi [/mm] r=2 einzusetzen und nach [mm] \phi [/mm] zu differenzieren!
ich hoff, zusammen mit meinem anderen post ists jetzt was klarer.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Fr 29.06.2007 | | Autor: | vivo |
hi,
ich habe den rand sowohl stückweise parametrisiert, in f eingesetzt und f'=0 als auch [mm]x=rcos\\phi; y=rsin\phi[/mm] r=2 einzusetzen und nach [mm]\phi[/mm] zu > differenzieren!
daraus ergeben sich dann die punkte (0,2) (0,-2) (2,0) (-2,0) bei den ersten beiden ist die zweite ableitung < 0 also Max und bei den anderen beiden > 0 also Min
so jetzt aber die Frage: Muss ich noch prüfen ob diese Punkte auch Extrema der Funktion sind? So wie ich das bis jetzt verstanden habe schon!
und dies geht doch jetzt entweder mit hilfe einer [mm] \varepsilon [/mm] Umgebung (wäre super wenn mir jemand sagen könnte wie)
oder so wie wir es in der übung gemacht haben mit dem grad wie oben beschrieben! ist das soweit richtig??
nochmal die grad methode (die ich nicht verstehe): die vier punkte jeweils in den grad f(x,y) eingesetzt (ergebnisse oben) dann ein zweidimensionales koordinatensystem gezeichnet, vier punkte und vier grad rein und aus der tatsache, dass alle richtung (0,0) zeigen geschlussfolgert welche der vier möglichen extrema auch wirklich welche sind.
leider versteh ich deine erklärung zu der methode mit dem grad nicht so ganz, warum steht der grad senkrecht auf dem rand (immer?) und warum ist (0,0) der radius??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 Fr 29.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wir müssen uns gründlich missverstanden haben.
Wenn du den parametrisierten Rand in die Funktion einsetzt, differenzierst und die Nullstellen suchst, weisst du, dass da Extrema auf dem Rand sind (2te Abl. ungleich 0) die auch lokale Extrema der fkt. sind. um festzustellen, ob sie globale Extrema sind musst du die Werte bestimmen.
Es gibt eine ANDERE Methode Randmaxima zu finden: man bestimmt den grad der fkt. auf dem Rand, wenn er parallel zum grad der Randfunktion ist dann hab ich auch ne notwendige Bedingung für Extremwert erfüllt.
in deinem speziellen Fall, wo der Rand ein Kreis ist, ist der grad des Randes, ein Vektor der in radialer Richtung weisst. d.h. er weisst in Richtung (0,0) weil das die radiale Richtung ist. der Grad der fkt. weisst an 4 Stellen auch auf (0,0) ist also an DIESEN Stellen parallel zum grad der Randfunktion. Also hast du jetzt ne zweite notwendige Bedingung für ein Extremert gezeigt. und nicht mehr.
du nimmst jetzt einen dieser Punkte, etwa (2,0) und eine Umgebung dazu, [mm] (2-\varepsilon_1,\varepsilon_2)
[/mm]
Berechnest den Funktionswert an P und in der Umgebung. dabei kommt es nicht auf Zahlenwerte an, sondern ob die Werte neben P alle kleiner oder alle größer sind. daraus schließt du auf ein Max oder Min.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Fr 29.06.2007 | | Autor: | vivo |
vielen dank für deine antworten,
wenn ich dich jetzt richtig verstanden habe, dann sind die gefundenen extrema auf dem rand auf jeden fall lokale extrema der funktion (auf dem definitionsbereich) und ich muss nur noch prüfen ob sie global sind (dies mach ich indem ich z.B. berechne welches Maximum den größen Funktionswert hat (inneres oder das am Rand) --> das mit dem größeren ist dann das globale.
jetzt versteh ich aber nicht warum unser übungsleiter dann nachdem er den parametrisierten rand in f eingesetzt hat, erste und zweite ableitung gebildet hat, die vier randextrema und ihre art bestimmt hat, noch das mit den grad gemacht hat und er hat dazu gesagt man könnte dies auch mit einer [mm] \varepsilon [/mm] umgebung machen, aber wozu denn überhaupt!???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 18:51 Fr 29.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das mit der Abl. 0 auf dem Rand ist nur ne notwendige Bedingung für max oder Min. wenn jetzt der grad noch nach innen zeigt, (dass das grade Richtung (0,0) ist ist unwichtig) heisst, dass die fkt. nach innen fällt, dass man also ein lokales Max hat. wenn er nach aussen zeigte, hätte man, dass die fkt an der Stelle steigt, also ein lokales Min. wenn er 0 wäre wüsste man nix)
Ich hatte das eben übersehen, er hatte also recht!
Gruss leduart.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Fr 29.06.2007 | | Autor: | vivo |
ok, jetzt versteh ich schon mal warum man das macht und jetzt ist mir auch klar warum man das auch mit ner [mm] \varepsilon [/mm] umgebung zeigen hätte können.
wenn jetzt der grad noch nach
> innen zeigt, (dass das grade Richtung (0,0) ist ist
> unwichtig) heisst, dass die fkt. nach innen fällt, dass man
> also ein lokales Max hat. wenn er nach aussen zeigte, hätte
> man, dass die fkt an der Stelle steigt, also ein lokales
> Min. wenn er 0 wäre wüsste man nix)
da jetzt jeder der vier grad nach innen zeigt habe ich also vier lokale maxima??? und jetzt muss ich durch berechnen prüfen ob eines davon auch global ist?
aber ist es nicht so dass der grad in die richtung des stärksten anstiegs zeigt, also wäre es dann nicht logischer dass es ein minimum ist wenn der grad nach innen zeigt und ein max wenn er nach außen zeigt?
ist es auch so, dass die sache mit dem gradienten mit der zweiten ableitung übereinstimmen muss? denn mein übungsleiter, hat die zweite ableitung von f (mit eingesetztem parametrisiertem rand berechnet) bei den vier punkten da kommt dann für (0,-2) und (0,2) Max und für (-2,0) und (2,0) Min raus, dann zeigen alle grad nach Innen und deshalb liegt in (-2,0) und (2,0) ein lokales Min vor und in den anderen beiden Punkten kein lokales extremum
falls lezter absatz korrekt ist: warum muss die "grad richtung" mit dem übereinstimmen was die zweite ableitung an dem punkt "sagt"
vielen dank für die hilfe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 Fr 29.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
es tut mir leid, mein letzter post war Unsinn.
Du hast recht, der grad zeigt in die Richtung des größten Anstiegs.
Wenn er also von einer Stelle, die auf dem Rand ein Minimum ist nach innen zeigt, heisst das dass es nicht nur auf dem Rand nach beiden Seiten hoch geht, sondern auch zum Inneren des Gebietes, also sicher ein Minimum der fkt.
dazu ist beides notwendig, dass es ein Min. auf dem Rand ist, also 2.Abl>0 und dass der grad nach innen zeigt.
Wenn es vom Max. auf dem Rand nach innen zeigt, heisst das das die fkt, nach innen ansteigt, zwar geht es auf dem Rand nach beiden Seiten runter, (wegen deiner 2. Abl.<0) aber ins Gebiet rein nach oben, also kein Max. der fkt.
Tut mir leid, dass ich dazwischen den Blödsinn erzählt habe!
ich hoffe hetzt ist es klar
(Was hier nicht der Fall ist: wenn bei den "Randmaxima" der grad nach aussen zeigen würde, wären sie Maxima der fkt.)
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:47 Sa 30.06.2007 | | Autor: | vivo |
vielen dank!!!! jetzt ist mir das völlig klar!
aber ich würde gerne nochmal auf die von Dir angesprochene ANDRER Methode zurückkommen:
Es gibt eine ANDERE Methode Randmaxima zu finden: man bestimmt den grad der fkt. auf dem Rand, wenn er parallel zum grad der Randfunktion ist dann hab ich auch ne notwendige Bedingung für Extremwert erfüllt.
in deinem speziellen Fall, wo der Rand ein Kreis ist, ist der grad des Randes, ein Vektor der in radialer Richtung weisst. d.h. er weisst in Richtung (0,0) weil das die radiale Richtung ist. der Grad der fkt. weisst an 4 Stellen auch auf (0,0) ist also an DIESEN Stellen parallel zum grad der Randfunktion. Also hast du jetzt ne zweite notwendige Bedingung für ein Extremert gezeigt. und nicht mehr.
ist es nicht so, dass der grad der funktion immer senkrecht auf den Niveauflächen steht??? also ist der grad dann nicht senkrecht auf der gesamten kreislinie und somit an mehr als vier stellen parallel zu dem grad der randfunktion????????
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:31 Sa 30.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du den Grad in der Ebene betrachtest, steht er senkrecht auf den Niveaulinien, völlig richtig!
aber die Randkurve des Definitionsgebiets ist im Allgemeinen keine Niveaulinie! Niveaulinie heisst ja f(x,y)=const, d.h. sie ist im Raum eben, und deshalb als Rand auch i.A, überall maximal oder minimal.
Deine Kreislinie [mm] x^2+y^2=4 [/mm] ist nicht Niveaulinie deiner Fläche, sonst wäre ja die Funktion auf der ganzen Kreislinie konstant und damit f'=0! auch wieder ne notwendige Bed. für Maxima,
Es ist wirklich nützlich sich Funktionen z=f(x,y) als Gebirge über der x-yEbene vorzustellen, die Darstellung in der x-y Ebene erfolgt dann als Höhenlinien z=const,wie auf einer Landkarte!
ausserdem kannst du ja den Grad deiner fkt. mal bei [mm] x=1,y=\wurzel{3} [/mm] ausrechnen und einzeichnen! er steht nicht senkrecht auf dem Kreis!
Gruss leduart.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 Sa 30.06.2007 | | Autor: | vivo |
oh natürlich! ich dachte jetzt fälsclicher Weise, dass der rand niveaufläche sei, aber nartürlich nicht! --> ist klar!
so, also wenn der grad der randfunktion parallel zum grad von f zeigt, also wenn die richtung des stärksten anstiegs von f die selbe ist wie die der randfunktion, dann hab ich ein notwendiges kriterium für mögliche extrema auf dem rand!
warum ist das so?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:05 Sa 30.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ein "stationärer" Punkt -also ein möglicher Kandidat für ein Extremum heisst doch die fkt ändert sich an der Stelle nicht.
eindimensional heisst das Ableitung 0.
der grad gibt die Richtung der Änderung der fkt an. wenn er senkrecht auf dem Rand steht, ist die Projektion (oder Komponente) in Richtung Rand 0, d.h. die fkt ändert sich in diesem Pkt nicht, d.h. stationärer pkt, das gleiche, wie wenn du die Abl. des parametrisierten Randes in der fkt. ausrechnest. Was du willst ist, dass die Momentanänderung 0 ist.
(vielleicht ist es anschaulicher, wenn ich sage, der grad der fkt muss senkrecht auf der Tangente der Randkurve stehen.)
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Sa 30.06.2007 | | Autor: | vivo |
ich verstehe diene erklärung, aber ich dachte, dass der grad in die richtung des stärksten anstiegs zeigt, wenn der grad jetzt senkrecht auf dem rand steht, folgt daraus dann dass die funktion sich auf dem rand in diesem punkt gar nicht ändert?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 Sa 30.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Genau das folgt! du weisst doch auch, dass grad senkrecht auf den Niveaulinien steht, das sind die Linien wo die fkt konstant ist! wenn grad nur an einer Stelle senkrecht steht, dann ist das lokal dasselbe!
vielleich solltest du nicht so sehr auf das "stärkster" Anstieg starren, sondern einfach die Änderung der fkt an der Stelle, wird durch die Änderung in 2 Richtungen festgelegt.
wenn du den grad mit irgeneinem einheitsrichtungsvektor skalar multiplizierst, weisst du wie die Äanderung der fkt in der Richtung ist.
deshalb ist die Änderung senkrecht zu grad immer 0.
Gruss leduart.
Gruss leduart.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:47 Sa 30.06.2007 | | Autor: | vivo |
ok jetzt! vielen dank für deine geduld mit dieser aufgabe mir ist da jetzt so einiges klar geworden!
gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 22:43 Fr 29.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
der post ist einfach völlig falsch! Bereichtigung in der nächsten Antwort.
Gruss leduart
|
|
|
|
